江西省赣州市章贡区2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

抛物线y＝（x﹣1）²+3的顶点坐标是（　　）

A.（1，3） B.（﹣1，3） C.（1，﹣3） D.（3，﹣1）

2. 难度：简单

下列汽车标识中，是中心对称图形的是（　　）

A. B.

C. D.

3. 难度：中等

一元二次方程的根的情况是（　　）

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根

C. 只有一个实数根 D. 没有实数根

4. 难度：简单

如图，一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△ABC，当B，C，A在一条直线上时，三角板ABC的旋转角度为（    ）

A.30° B.60° C.120° D.150°

5. 难度：简单

如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝55°，若P为上一点，∠AOP＝73°，OP∥CB，则∠OBC的度数为（　　）

A.30° B.35° C.37° D.55°

6. 难度：中等

抛物线y＝ax²+bx+c的顶点为(﹣1，3)，与x轴的交点A在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论，其中正确结论的个数为(　　)

①若点P(﹣3，m)，Q(3，n)在抛物线上，则m＜n；

②c＝a+3；

③a+b+c＜0；

④方程ax²+bx+c＝3有两个相等的实数根．

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

二、填空题

7. 难度：中等

关于x的一元二次方程2x²﹣x﹣k＝0的一个根为1，则k的值是_____．

8. 难度：中等

在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），若点A与点B关于原点O对称，则ab=_____．

9. 难度：简单

在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（4，8），半径为5，那么x轴与⊙P的位置关系是_____．

10. 难度：简单

若抛物线y=x²与直线y=x+2的交点坐标为（﹣1，1）和（2，4），则方程x²﹣x﹣2=0的解为________．

11. 难度：中等

如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC=2，则OF的长为      ．

12. 难度：中等

如图，P是抛物线y＝x²﹣4x+3上的一点，以点P为圆心、1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线y＝0相切时，点P的坐标为_____．

三、解答题

13. 难度：简单

解方程：3（x﹣2）＝5x（x﹣2）

14. 难度：简单

如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A'B'C，连接BB'，若∠A'B'B＝20°，求∠A的度数．

15. 难度：中等

如图，已知点E在直角三角形ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D．

（1）请仅用无刻度的直尺在图1中作出∠BAC的平分线；

（2）请仅用无刻度的直尺在图2中的线段BC上取一个点P，使CP＝EF．

16. 难度：简单

在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y＝ax²﹣4ax+1．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）若抛物线过点A（﹣1，6），求二次函数的表达式；

（3）若抛物线与坐标轴只有两个交点，求a的值．

17. 难度：中等

在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1寸，CD＝10寸，求直径AB的长．

请你解答这个问题．

18. 难度：中等

将两块全等的含30°角的直角三角板按如图1所示的方式放置，已知∠BAC＝∠B₁A₁C＝30°．固定三角板A₁B₁C，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转（旋转角小于90°）至如图2所示的位置，AB与A₁C、A₁B₁分别交于点D、E，AC与A₁B₁交于点F．

（1）当旋转角等于20°时，∠BCB₁＝　   　°；

（2）当旋转角等于多少度时，AB与A₁B₁垂直？请说明理由．

19. 难度：简单

已知关于x的一元二次方程x²﹣2（k﹣1）x+k²﹣k﹣2＝0有两个不相等的实数根x₁，x₂．

（1）求k的取值范围；

（2）若x₁，x₂满足x₁²+x₂²﹣x₁x₂＝24，求k的值．

20. 难度：中等

赣县田村素称“灯彩之乡”，田村花灯源于唐代，盛于宋朝，迄今已有1300多年历史了，某公司生产了一种田村花灯，每件田村花灯制造成本为20元．设销售单价x（元），每日销售量y（件）、每日的利润w（元）．在试销过程中，每日销售量y（件）、每日的利润w（元）与销售单价x（元）之间存在一定的关系，其几组对应量如下表所示：

销售单价x（元）	30	31	32	40
销售量y（件）	40	38	36	20

（1）根据表中数据的规律、分別写出每日销售量y（件）、每日利润w（元）关于销售单价x（元）之间的函数表达式（利润＝（销售单价﹣成本单价）×销售件数）．

（2）当销售单价为多少元时，公司每日能够获得最大利润？最大利润是多少？

21. 难度：中等

如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC、BC，过点C作∠BCP＝∠BAC，交AB的延长线于点P，弦CD平分∠ACB，交AB于点E，连接OC、AD、BD．

（1）求证：PC为⊙O的切线；

（2）若OC＝5，OE＝1，求PC的长．

22. 难度：中等

今年以来，因生猪受到猪瘟的影响，导致多地猪肉价格连续上涨，引起了民众与政府的高度关注，当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．据统计：从今年年初至9月20日，猪肉价格不断上涨，9月20日比年初价格上涨了60%、某市民于某超市今年9月20日购买3千克猪肉花120元钱．

（1）问：那么今年年初猪肉的价格为每千克多少元？

（2）现在某超市以每千克30元的猪肉进货，按9月20日价格出售，平均一天能销售出100千克，经调查表明：猪肉的售价每千克下降1元，其日销售量就增加20千克，超市为了实现销售猪肉每天有1120元的销售利润，为了尽可能让顾客优惠应该每千克定价为多少元？

23. 难度：困难

如图1，在锐角△ABC中，AB＝5，AC＝4，∠ACB＝45°

（1）计算：求BC的长；

（2）操作：将图1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A₁BC₁．如图2，当点C₁在线段CA的延长线上时．

①求∠CC₁A₁的度数；

②求四边形A₁BCC₁的面积；

（3）探究：如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转所得到的△A₁BC₁中，点P的对应点是点P₁，求线段EP₁长度的最大值与最小值．

24. 难度：困难

已知：抛物线C₁：y＝﹣（x+m）²+m²（m＞0），抛物线C₂：y＝（x﹣n）²+n²（n＞0），称抛物线C₁，C₂互为派对抛物线，例如抛物线C₁：y＝﹣（x+1）²+1与抛物线C₂：y＝（x﹣）²+2是派对抛物线，已知派对抛物线C₁，C₂的顶点分别为A，B，抛物线C₁的对称轴交抛物线C₂于C，抛物线C₂的对称轴交抛物线C₁与D．

（1）已知抛物线①y＝﹣x²﹣2x，②y＝（x﹣3）²+3，③y＝（x﹣）²+2，④y＝x²﹣x+，则抛物线①②③④中互为派对抛物线的是　   　（请在横线上填写抛物线的数字序号）；

（2）如图1，当m＝1，n＝2时，证明AC＝BD；

（3）如图2，连接AB，CD交于点F，延长BA交x轴的负半轴于点E，记BD交x轴于G，CD交x轴于点H，∠BEO＝∠BDC．

①求证：四边形ACBD是菱形；

②若已知抛物线C₂：y＝（x﹣2）²+4，请求出m的值．