湖南省长沙市天心区长郡教育集团2018-2019学年九年级上学期期末数学试卷

一、单选题

1. 难度：简单

-2019的相反数是（    ）

A.2019 B.-2019  C.  D.

2. 难度：中等

将0.000 102用科学记数法表示为（　　）

A.1.02×10^﹣4 B.1.02×I0^﹣5 C.1.02×10^﹣6 D.102×10^﹣3

3. 难度：简单

下列运算正确的是    (　　)

A.3x²+4x²=7x⁴ B.2x³·3x³=6x³

C.x⁶÷x³=x² D.(x²)⁴=x⁸

4. 难度：中等

如图，直线l₁∥l₂，等腰Rt△ABC的直角顶点C在l₁上，顶点A在l₂上，若∠β=14°，则∠α=：

A.31° B.45° C.30° D.59°

5. 难度：中等

点P（x﹣1，x+1）不可能在（　　）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

6. 难度：简单

如图，在下列四个几何体中，从正面、左面、上面看不完全相同的是　　

A. B. C. D.

7. 难度：中等

小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是(　　)

A.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上

B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等

C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等

D.以上均不正确

8. 难度：中等

方程﹣1＝的解是（　　）

A.﹣1 B.2或﹣1 C.﹣2或3 D.3

9. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，经过点（sin45°，cos30°）的直线，与以原点为圆心，2为半径的圆的位置关系是（　　）

A.相交 B.相切

C.相离 D.以上三者都有可能

10. 难度：中等

已知点P（a+1，﹣）关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）

A. B.

C. D.

11. 难度：中等

已知函数y=ax²+bx+c，当y＞0时，．则函数y=cx²﹣bx+a的图象可能是下图中的（　　）

A. B. C. D.

12. 难度：中等

如图，已知二次函数（）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（包括这两点），下列结论：

①当x＞3时，y＜0；

②3a+b＜0；

③；

④；

其中正确的结论是（ ）

A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④

二、填空题

13. 难度：简单

若点A（1，y₁）和点B（2，y₂）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y₁与y₂的大小关系是_____．

14. 难度：中等

把多项式分解因式的结果是                 ．

15. 难度：中等

随着信息化时代的到来，微信支付、支付宝支付、QQ红包支付、银行卡支付等各种便捷支付已经成为我们生活中的一部分，某学校某宿舍的5名同学，有3人使用微信支付，2人使用支付宝支付，问从这5人中随机抽出两人，使用同一种支付方式的概率是_____．

16. 难度：简单

已知圆锥的侧面积为16πcm²，圆锥的母线长8cm，则其底面半径为_____cm．

17. 难度：中等

在一次夏令营活动中，小亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5km到达B地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C地，测得A地在C地南偏西30°方向，则A、C两地的距离为_____．

18. 难度：中等

如图，将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为，再将所折得的图形沿EF折叠，使得点D和点A重合若，，则折痕EF的长为______．

三、解答题

19. 难度：中等

计算：|﹣1|+（2019﹣π）⁰﹣（）^﹣1﹣3tan30°

20. 难度：中等

先化简，再求值：，其中x＝＋2，y＝－2.

21. 难度：中等

为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉子的意识，某校举办了首届“汉字听写大赛”，学生经选拔后进入决赛，测试同时听写100个汉字，每正确听写出一个汉字得1分，本次决赛，学生成绩为（分），且，将其按分数段分为五组，绘制出以下不完整表格：

组别	成绩（分）	频数（人数）	频率
一		2	0.04
二		10	0.2
三		14	b
四		a	0.32
五		8	0.16

请根据表格提供的信息，解答以下问题：

（1）本次决赛共有       名学生参加；

（2）直接写出表中a=        ,b=       ;

（3）请补全下面相应的频数分布直方图；

（4）若决赛成绩不低于80分为优秀，则本次大赛的优秀率为        ．

22. 难度：中等

在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，延长BA至点F，延长CB至点E，使BE＝AF，连结CF，EA，AC，延长EA交CF于点G．

（1）求证：△ACE≌△CBF；

（2）求∠CGE的度数．

23. 难度：中等

为满足社区居民健身的需要，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经考察，劲松公司有A，B两种型号的健身器材可供选择．

（1）劲松公司2015年每套A型健身器材的售价为2.5万元，经过连续两年降价，2017年每套售价为1.6万元，求每套A型健身器材年平均下降率n；

（2）2017年市政府经过招标，决定年内采购并安装劲松公司A，B两种型号的健身器材共80套，采购专项经费总计不超过112万元，采购合同规定：每套A型健身器材售价为1.6万元，每套B型健身器材售价为1.5（1﹣n）万元．

①A型健身器材最多可购买多少套？

②安装完成后，若每套A型和B型健身器材一年的养护费分别是购买价的5%和15%，市政府计划支出10万元进行养护，问该计划支出能否满足一年的养护需要？

24. 难度：困难

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，⊙O是△ABC外接圆，点D是圆上一点，点D、B分别在AC两侧，且BD=BC，连接AD、BD、OD、CD，延长CB到点P，使∠APB=∠DCB，

（1）求证：AP为⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为1，当△OED是直角三角形时，求△ABC的面积；

（3）若△BOE、△DOE、△AED的面积分别为a、b、c，试探究a、b、c之间的等量关系式，并说明理由．

25. 难度：中等

如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．

（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；

（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；

（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．

26. 难度：困难

已知，抛物线y＝ax²+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．

（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；

（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；

（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．