湖南省长沙市一中2010届高三第三次月考（理）

一、选择题

1. 难度：简单

 设A = {x |x – 2|≤3}，B = {x | x<t}，若A∩B =，则实数t的取值范围（   ）

A．t < –1          B．t≤–1               C．t >5             D．t≥5

2. 难度：中等

 已知sin () = –，那么cos的值为（    ）

    A．±             B．               C．              D．±

3. 难度：中等

 函数y = f (x) = 2sin (2x + )在上对称轴的条数为（   ）

    A．1                B．2                C．3                D．0

4. 难度：简单

 下列函数中，图象的一部分如下图所示的是（   ）

    A．y = sin ()                 

B．y = sin

C．y = cos              

D．y = cos

5. 难度：简单

 下列命题中，真命题是（   ）

A．              B．

C．，sinx + cosx≥2        D．

6. 难度：中等

 已知向量a= (1，2)，b= (–2，–4)，|c| =，若(a+b)·c=，则a与c的夹角为（   ）

A．30°             B．60°             C．120°            D．150°

7. 难度：困难

 定义：区间[x₁，x₂](x₁ < x₂)的长度等于x₂ – x₁，函数y = |log_ax|(a>1)的定义域为[m，n](m<n)，值域为[0，1]，若区间[m，n]的长度的最小值为，则实数a的值为（     ）

A．               B．2                C．              D．4

8. 难度：中等

 右图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输

出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等，则

这样的x值有（   ）

A．1个                         

B．2个             

C．3个                         

D．4个

二、填空题

9. 难度：中等

 已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若a = 4，C= 60°，S_△ABC = 8，则边长c=     ．

10. 难度：中等

 等差数列{a_n}中，a₁ + a₂ + a₃ = –24，a₁₈ + a₁₉ + a₂₀ = 78，则此数列前20项的和等于    ．

11. 难度：简单

 已知各项不等的等比数列{a_n}的公比为q，其前n项的和为S_n，若S₃、S₉、S₆成等差数列，则q³等于      ．

12. 难度：简单

 已知f (x) = x² + mx + 1，使不等式f (x)≥3对任意的m∈[–1，1]恒成立的实数x的取值范围为            ．

13. 难度：简单

 ，g(x) = mx + 2，，．使g(x₁) = f (x₀)，则m的取值范围        ．

14. 难度：中等

 已知函数f (x) = x³+ax² + bx + c的图象如图：

直线y = 0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所

围成的区域（阴影）面积为，则f (x) =          ．

15. 难度：中等

 已知函数f (x) = 2sinx·cos|x| (x∈R)，则下列叙述不正确的为       ．

    ①f (x)的最大值为1  ②f (x)为奇函数  ③f (x)在[0，1]上是增函数  ④f (x)是以为最小正周期的函数．

三、解答题

16. 难度：中等

 已知f (x) = sinx + sin．

    （1）若，且的值；

    （2）若，求f (x)的单调递增区间．

17. 难度：困难

 已知数列是等差数列，a₂ = 3，a₅ = 6，数列的前n项和是T_n，且T_n +．

（1）求数列的通项公式与前n项的和M_n；

（2）求数列的通项公式；

（3）记c_n =，求的前n项和S_n．

18. 难度：中等

 已知向量

    （1）求cos (–)的值；

    （2）若0＜＜，–＜＜0，且sin=，求sin．

19. 难度：中等

 长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似地为半径是R的圆面．该圆面的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界AB = AD = 4万米，BC = 6万米，CD = 2万米．

（1）请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径R的值；

（2）因地理条件的限制，边界AD、DC不能变更，而边界AB、BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧上设计一点P；使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值．

20. 难度：困难

 已知函数f (x) = ln(e^x + a)(a为常数)是实数集R上的奇函数，函数g (x) =

f (x) + sinx是区间[–1，1]上的减函数．

（1）求a的值；

（2）若g (x)≤t² +t + 1在x∈[–1，1]上恒成立，求t的取值范围；

（3）讨论关于x的方程的根的个数．

21. 难度：中等

 已知数列{a_n}中，a₁ = t (t≠0，且t≠1)，a₂ = t²．且当x = t时，函数f (x) =(a_n – a_{n – 1})x² – (a_{n + 1} – a_n) x    (n≥2)取得极值．

    （1）求证：数列{a_{n + 1} – a_n}是等比数列；

    （2）若b_n = a_n ln |a_n| (n∈N⁺)，求数列{b_n}的前n项的和S_n；

    （3）当t = –时，数列{b_n}中是否存在最大项？如果存在，说明是第几项，如果不存在，请说明理由．