湖南省师大附中2010届高三第三次月考（理）

一、选择题

1. 难度：简单

 若复数是纯虚数，则实数的值为                   （ ）

   A．1              B. 或1           C.               D. 或3

2. 难度：简单

 已知条件p：；条件q：，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是                                                          （ ）

A . [21，＋∞)       B. [9，＋∞)         C.[19，＋∞)        D.(0，＋∞)

3. 难度：简单

 已知图1是函数的图象，则图2中的图象对应的函数可能是              （  ）

A.         B.          C.       D.

4. 难度：简单

 若等差数列的前5项之和，且，则                      （  ）

A．12　　   　　    B．13　　　  　      C．14　　　　        D．15

5. 难度：简单

 已知，则的值是                        （  ）

    A.    B.     C.      D.

6. 难度：简单

 已知点F₁、F₂分别是椭圆＋＝1(k＞－1)的左、右焦点，弦AB过点F₁，若△ABF₂的周长为，则椭圆的离心率为                                              （ ）

A．              B．                C．                D．

7. 难度：简单

 设为函数的最大值，则二项式的展开式中含项的系数是                                                                    （  ）

A．192              B．182             C．            D．

8. 难度：简单

 对于向量a，b，定义a×b为向量a，b的向量积，其运算

结果为一个向量，且规定a×b的模|a×b|＝|a||b|sinθ(其中

θ为向量a与b的夹角)，a×b的方向与向量a，b的方向都

垂直，且使得a，b，a×b依次构成右手系.如图，在平行六

面体ABCD－EFGH中，∠EAB＝∠EAD＝∠BAD＝60°，

AB＝AD＝AE＝2，则＝                                       （  ）

A. 4               B. 8                C.               D.

二、填空题

9. 难度：简单

 如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE︰AC＝3︰5，，则BF＝___.

10. 难度：中等

 已知函数在区间[1，2]上是增函数，则实数a的取值范围是   .

11. 难度：简单

 已知曲线C的参数方程为为参数），直线的极坐标方程为

，设点A为曲线C上任意一点，点B为直线上任意一点，则

A，B两点间的距离的最大值是    .

12. 难度：简单

 已知函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，则的最小值为      ．

13. 难度：简单

 2009年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为米，则旗杆的高度为    米 .

14. 难度：简单

 已知函数，集合M＝，N＝，则集合所表示的平面区域的面积是  .

15. 难度：简单

 设直角三角形的两直角边的长分别为，斜边长为，斜边上的高为，则有 成立，某同学通过类比得到如下四个结论：

①；②；③ ；④.

其中正确结论的序号是      ；进一步类比得到的一般结论是     .

三、解答题

16. 难度：中等

己知向量a，b，函数(a·b).

（Ⅰ）求函数f(x)的定义域和值域；

（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间.

17. 难度：简单

为了参加师大附中第23届田径运动会的开幕式，高三年级某6个班联合到集市购买了6根竹竿，作为班旗的旗杆之用，它们的长度分别为3.8，4.3，3.6，4.5，4.0，4.1（单位：米）.

（Ⅰ）若从中随机抽取两根竹竿，求长度之差不超过0.5米的概率；

（Ⅱ）若长度不小于4米的竹竿价格为每根10元，长度小于4米的竹竿价格为每根a元.从这6根竹竿中随机抽取两根，若期望这两根竹竿的价格之和为18元，求a的值.

18. 难度：中等

在等腰梯形ABCD中，E、F分别是CD、AB中点，CD＝2，AB＝4，AD＝BC＝.沿EF将梯形AFED折起，使得∠AFB＝60°，如图.

（Ⅰ）若G为FB的中点，求证：AG⊥平面BCEF；

（Ⅱ）求二面角C—AB—F的正切值.

19. 难度：压轴

设数列的前项和为，如果为常数，则称数列为“科比数列”．

（Ⅰ）已知等差数列的首项为1，公差不为零，若为“科比数列”，求的通项公式；

（Ⅱ）设数列的各项都是正数，前项和为，若对任意 都成立，试推断数列是否为“科比数列”？并说明理由．

20. 难度：中等

某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.

（Ⅰ）若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要求；

（Ⅱ）现有两个奖励函数模型：(1)y＝；(2)y＝4lgx－3.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？

21. 难度：中等

如图，在以点O为圆心，AB为直径的半圆中，D为半圆弧的中点， P为半圆弧上一点，且AB＝4，∠POB＝30°，双曲线C以A，B为焦点且经过点P.

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求双曲线C的方程；

（Ⅱ）设过点D的直线l与双曲线C相交于不同两点E、F，

若△OEF的面积不小于2，求直线l的斜率的取值范围.