2009-2010学年度新课标高二上学期数学单元测试4

一、选择题

1. 难度：简单

 已知抛物线x²=4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线的焦点的距离为  （    ）

    A．2    B．3    C．4    D．5

2. 难度：中等

 已知条件的        （    ）

    A．充分非必要条件       B．必要非充分条件

    C．充分必要条件     D．既非充分又非必要条件

3. 难度：中等

 （理）如图，空间四边形ABCD中，M、G分别是BC、CD的中点，则 等于              （    ）

 

    A． B．

    C． D．

（文）设函数的前n项和是              （    ）

    A．   B．   C．    D．

4. 难度：简单

 （理）在棱长为1的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，M和N分别为A₁B₁和BB₁的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为         （    ）

    A． B．    C．   D．

（文）

    A．cosx B．－cosx   C．sinx D．－sinx

5. 难度：中等

 双曲线的两焦点为F₁，F₂，点P在双曲线上，直线PF₁，PF₂的倾斜角之差为面积为            （    ）

    A．   B．   C．32   D．42

6. 难度：中等

 （理）已知向量互相垂直，则实数k的值是（    ）

    A．1    B．   C．   D．

（文）对于R上可导的任意函数f（x）满足（x－1）f′（x）≥0，则必有   （    ）

    A．f（0）+f（2）<2f（1）        B．f（0）+f（2）≤2f（1）

    C．f（0）+f（2）≥2f（1）       D．f（0）+f（2）>2f（1）

7. 难度：中等

 设F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，若在其右准线上存在点P，

    使PF₁的中垂线过点F₂，则椭圆离心率的取值范围是       （    ）

    A． B．  C．  D．

8. 难度：中等

 平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上，一条渐近线的方程为，则它的离心率为          （    ）

    A．  B． C．  D．2

9. 难度：中等

 （理）正n棱锥侧棱与底面所成的角为α，侧面与底面所成的角为β，tanα∶tanβ等于

A．            B．       C．           D．

 

（文）已知函数的导函数的图象如图甲所示，则函数

 

的图象可能是                        （    ）

10. 难度：中等

 设动点P是抛物线y=2x²+1上任意一点，定点A（0，1），点M分所成的比为2，则点M的轨迹方程是             （    ）

    A．      B． 

    C．     D．

11. 难度：中等

 设双曲线的半焦距为C，直线L过两点，已知原点到直线L的距离为，则双曲线的离心率为  （    ）

A．2    B．2或     C．     D．

12. 难度：中等

 （理）已知二面角的平面角为，PA，PB，A，B为垂足，且PA=4，PB=5，设A、B到二面角的棱的距离为别为，当变化时，点的轨迹是下列图形中的   （    ）

  

          A                   B                C                D

（文）函数上取得最大值时，x的值为     （    ）

    A．0    B．   C．   D．

二、填空题

13. 难度：简单

 若抛物线的焦点与双曲线的左焦点重合，则m的值为        .

14. 难度：简单

 命题“R，”的否定命题是（用数学符号表示）：                 

15. 难度：简单

 （理）已知向量a=（2，4，x），b=（2，y，2），若|a|=6，且a⊥b，则x+y的值为    

（文）已知函数=               

16. 难度：简单

 （理）正n棱锥相邻两个侧面所成二面角的取值范围是____________.

（文）曲线y=x³在点（1，1）处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为     

三、解答题

17. 难度：中等

 

    （理）如图，在正三棱柱（底面为正三角形，侧棱与底面垂直）ABC—A₁B₁C₁中，M、N

分别为A₁B₁、BC的中点.

   （I）试求的值，使；

   （II）设AC₁的中点为P，在（I）的条件下，求证：NP⊥平面AC₁M.

（文）已知函数的极大值

为7；当x=3时，f（x）有极小值.

（I）求函数f（x）的解析式；

（II）求函数f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程.

18. 难度：中等

 

   （理）如图，建立空间直角坐标系数xOyz，棱长为2的正方体OABC—O′A′B′C′被一平面截得四边形MNPQ，其中N、Q分别是BB′、OO′的中点，且

   （Ⅰ）求k的值；

   （Ⅱ）求

（文）某村计划建造一个室内面积为800m²的矩形蔬菜温室. 在温室内，种植蔬菜时需要沿左、右两侧与前侧内墙各保留1m宽的空地作为通道，后侧内墙不留空地（如图所示），问当温室的长是多少米时，能使蔬菜的种植面积最大？

 

19. 难度：中等

    （理）如图，平面ADEF⊥平面ABCD，ABCD与ADEF均为矩形，且AB：AD：AF=

 

2：2：；P为线段EF上一点，M为AB的中点，若PC与BD所成的角为

60°.

   （1）试确定P点位置；

   （2）求二面角P—MC—D的大小的余弦值；

   （3）当AB长为多少时，点D到平面PMC的距离等于？

（文）设函数（），其中．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值；

（Ⅲ）当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立．

20. 难度：中等

（理）如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．

   （Ⅰ）求证：平面；

   （Ⅱ）求二面角的大小；

   （Ⅲ）求点到平面的距离． 

（文）设函数

证明：当没有极值点；当有且只有一个极值点，并求出极值

21. 难度：中等

    （理）如图2，E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD的中点，G是EF上的一点.

将△GAB、△GCB分别沿AB、CD翻折成△G₁AB、△G₂CD，并连结G₁G₂，使得平面G₁AB⊥平面ABCD，G₁G₂//AD，且G₁G₂<AD. 连结BG₂，如图3.

   （Ⅰ）证明平面G₁AB⊥平面G₁ADG₂；

   （Ⅱ）当AB=12，BC=25，EG=8时，求直线BG₂和平面G₁ADG₂所成的角.

（文）已知某质点的运动方程为，其运动轨迹的一部分如图所示.

 

   （1）试确定b、c的值；

   （2）若当恒成立，

求d的取值范围.

22. 难度：压轴

        已知椭圆：的离心率为，过右焦点的直线与相交于、两点，当的斜率为时，坐标原点到的距离为.

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）上是否存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立?若存在，求出所有的的坐标与的方程；若不存在，说明理由.