2010届高三数学每周精析精练：圆锥曲线

一、选择题

1. 难度：中等

 两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且则双曲线的离心率为

    A．   B．    C．   D．

2. 难度：中等

 已知：，直线和曲线有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为，若，则实数m的取值范围为

A．         B．        　C．         D．

3. 难度：中等

 已知椭圆的右焦点为,右准线为，点，线段交于点，若,则=

(a).           (b). 2            (C).           (D). 3        

4. 难度：中等

 过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是 (    )    

A．               B．              C．               D．

5. 难度：中等

 下列命题中假命题是（    ）

  A．离心率为的双曲线的两渐近线互相垂直

  B．过点（1，1）且与直线x－2y+=0垂直的直线方程是2x + y－3=0

  C．抛物线y² = 2x的焦点到准线的距离为1

  D．+=1的两条准线之间的距离为

6. 难度：中等

 设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为(    ).     

A.      B.      C.       D.

7. 难度：中等

 已知直线与抛物线C:相交A、B两点，F为C的焦点。若,则k=

(A)            (B)           (C)          (D)

8. 难度：简单

 过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为

   A．          B．          C．        D．          

9. 难度：中等

 已知双曲线的准线过椭圆的焦点，则直线与椭圆至多有一个交点的充要条件是

A.               B.          

C.           D.

10. 难度：简单

 已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点在双曲线上.则·＝

   A. －12             B.  －2            C.   0          D. 4

11. 难度：中等

 已知圆C与直线x－y＝0 及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为

（A）      (B)

 (C)       (D)

二、填空题

12. 难度：中等

 若⊙与⊙相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是            

13. 难度：中等

 已知双曲线，则一条渐近线与实轴所构成的角的取值范围是_________．

14. 难度：中等

 椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则        ；的大小为        .

15. 难度：中等

 已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为           ．

16. 难度：简单

 若直线被两平行线所截得的线段的长为，则的倾斜角可以是

        ①   ②   ③   ④    ⑤   

其中正确答案的序号是           .（写出所有正确答案的序号）

17. 难度：中等

 已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60 ，则双曲线C的离心率为

18. 难度：简单

 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值为           ．

三、解答题

19. 难度：压轴

 （本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）

已知以原点为中心的双曲线的一条准线方程为，离心率．

（Ⅰ）求该双曲线的方程；

（Ⅱ）如图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线右支上，求的最小值，并求此时点的坐标；         

20. 难度：困难

设椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，

（I）求椭圆E的方程；

（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。

21. 难度：中等

已知椭圆C:                     的离心率为      ，过右焦点F的直线l与C相交于A、B

 

           

两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为

 

（Ⅰ）求a,b的值；

（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？

若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。

22. 难度：压轴

如图，已知圆是椭圆的内接△的内切圆, 其中为椭圆的左顶点.           

（1）求圆的半径;

（2）过点作圆的两条切线交椭圆于两点，

G

 

．

 

证明：直线与圆相切．

23. 难度：中等

已知，椭圆C以过点A（1，），两个焦点为（－1，0）（1，0）。

（1）   求椭圆C的方程；

（2）   E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。          

24. 难度：中等

 （注意：在试题卷上作答无效）

   如图，已知抛物线与圆相交于A、B、C、D四个点。

（Ⅰ）求r的取值范围

（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标。

25. 难度：压轴

已知直线经过椭圆    

的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点和椭

圆上位于轴上方的动点，直线，与直线

分别交于两点。

   （I）求椭圆的方程；

   （Ⅱ）求线段MN的长度的最小值；

   （Ⅲ）当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这

样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由

26. 难度：中等

 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分。

     已知双曲线设过点的直线l的方向向量    

（1）   当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；

（2）   证明：当>时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为。