2010年广州市高二数学竞赛

一、选择题

1. 难度：简单

 直线R与圆的交点个数是              （    ）

    A．0        B．1            C．2       D．无数个

2. 难度：中等

 今年春，我国西南部分地区遭受了罕见的旱灾，苍天无情人有情，某中学组织学生在社区开展募捐活动，第一天只有10人捐款，人均捐款10元，之后通过积极宣传，从第二天起，每天的捐款人数是前一天的2倍，且人均捐款数比前一天多5元．则截止第5天（包括第5天）捐款总数是        （    ）

   A．4800元  B．8000元  C．9600元   D．11200元

3. 难度：简单

 函数R的最大值和最小值分别为       （    ）

   A．        B．     C．       D．

4. 难度：中等

 若点是圆内的动点,则函数的一个零点在

   内, 另一个零点在内的概率为       （    ）

   A．       B．           C．           D．

二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，满分36分．

5. 难度：中等

 已知大于1的实数满足,

   则的最小值为              ．

6. 难度：中等

 将一边长为4的正方形纸片按照图1中的虚线所示的方法剪开后拼接为一正四棱锥,则该正四棱锥的体积为               ．

7. 难度：简单

 设、、都是单位向量，且＝0， 则的最大值为              ．

8. 难度：困难

 对于两个正整数，定义某种运算“”如下，当都为正偶数或正奇数时，

   ；当中一个为正偶数，另一个为正奇数时，，则在此定义下，集合NN中元素的个数是             ．

9. 难度：中等

 设是数列的前项和，若N，则

____________．

10. 难度：中等

 在Rt△中,,如果椭圆经过两点,它的一个焦点为,另一个焦

   点在上,则这个椭圆的离心率为              ．

二、解答题

11. 难度：中等

在△中,分别是内角的对边,已知．

   （1）求的值；

   （2）求的值．

12. 难度：困难

如图，已知二面角的平面角为, 在半平面内有一个半圆, 其直径在上, 是这个半圆上任一点（除、外）, 直线、与另一个半平面所成的角分别为、．试证明为定值．

13. 难度：困难

如图, 矩形中, , , 现以矩形的边为轴, 的中点为原点建立直角坐标系, 是轴上方一点, 使得、与线段分别交于点、, 且成等比数列．

   （1）求动点的轨迹方程；

   （2）求动点到直线距离的最大值及取得最大值时点的坐标．

14. 难度：压轴

设，函数．

   （1）当时，求曲线在点处的切线方程；

   （2）当时，求函数的最小值．

15. 难度：压轴

已知定义在上的函数满足：，且对于任意实数，总有成立．

   （1）求的值，并证明为偶函数；

   （2）若数列满足，求数列的通项公式；  

   （3）若对于任意非零实数，总有．设有理数满足，判断 和 的大小关系，并证明你的结论．