2011年高考试题数学理（四川卷）解析版

一、选择题

1. 难度：中等

 有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：

[11.5，15.5)  2  [15.5,19.5) 4  [19.5，23．5) 9 [23.5,27.5) 18

[27.5，31.5)  1l  [31.5，35.5)  12  [35.5．39.5) 7 [39.5,43.5) 3

根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5，43.5)的概率约是

  (A)       (B)        (C)     （D）

2. 难度：简单

 复数=

(A) （B） （C）0 （D）

3. 难度：中等

 ，，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是

 (A)，

（B），

 (C) ，，共面

（D），，共点，，共面

4. 难度：中等

 如图，正六边形ABCDEF中，=

(A)0 (B) (C) (D)

5. 难度：简单

 函数，在点处有定义是在点处连续的   

 (A)充分而不必要的条件    (B)必要而不充分的条件    (C)充要条件    (D)既不充分也不必要的条件

6. 难度：中等

 在ABC中．.则A的取值范围是   

  (A)(0，]    (B)[ ，)  (c)(0，]  (D) [ ，)

7. 难度：中等

 已知是R上的奇函数，且当时，，则的反函数的图像大致是

8. 难度：中等

 数列的首项为， 为等差数列且 .若则，，则

（A）0     （B）3       （C）8          （D）11

9. 难度：中等

 某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需运往地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次.拍用的每吨甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元.该公司合理计划党团派用两类卡车的车辆数，可得最大利润

（A）4650元    （B）4700元    （C）4900元     （D）5000元

10. 难度：中等

 在抛物线上取横坐标为，的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切，则抛物线顶点的坐标为

（A）    （B）    （C）    （D）

11. 难度：中等

 已知定义在上的函数满足，当时，.设在上的最大值为，且的前项和为，则

（A）3    （B）   （C）2    （D）

12. 难度：中等

 在集合中任取一个偶数和一个奇数构成以原点为起点的向量.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为，其中面积不超过的平行四边形的个数为，则

（A）      （B）     （C）     （D）

二、填空题

13. 难度：中等

 计算     .

14. 难度：中等

 双曲线P到左准线的距离是         .

15. 难度：简单

 如图，半径为R的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是，求的表面积与改圆柱的侧面积之差是      .

16. 难度：中等

 函数的定义域为A，若时总有

为单函数.例如，函数=2x+1（）是单函数.下列命题：

①  函数=（xR）是单函数；

②  若为单函数，

③  若f：AB为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象；

④  函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数.

其中的真命题是        .（写出所有真命题的编号）

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数

(1)求的最小正周期和最小值；

（2）已知，求证：

18. 难度：中等

 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）。有人独立来该租车点则车骑游。各租一车一次。设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过四小时。

（Ⅰ）求出甲、乙所付租车费用相同的概率；

（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望；

19. 难度：中等

 (本小题共l2分)

    如图，在直三棱柱AB-A₁B₁C₁中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA₁ =1．D是棱CC₁上的一

P是AD的延长线与A₁C₁的延长线的交点，且PB₁∥平面BDA．

(I)求证：CD=C₁D：

(II)求二面角A-A₁D-B的平面角的余弦值；   

(Ⅲ)求点C到平面B₁DP的距离．

20. 难度：中等

    设为非零实数，

(1)写出并判断是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由；

(II)设，求数列的前n项和．

21. 难度：中等

 (本小题共l2分)

    椭圆有两顶点A(-1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．

    (I)当|CD | = 时，求直线l的方程；

    (II)当点P异于A、B两点时，求证： 为定值。

 

22. 难度：中等

 (本小题共l4分)

已知函数

   (I)设函数，求的单调区间与极值；

    (Ⅱ)设，解关于的方程

 (Ⅲ)试比较与的大小.