2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷广东

一、选择题

1. 难度：简单

已知函数的定义域为M，g(x)=的定义域为N，则M∩N=

  （A） （B）  （C）   （D）

2. 难度：简单

若复数（1+bi）(2+i)是纯虚数（i是虚数单位，b为实数），则b=

   (A) 2           (B)           (C) -              (D) -2

3. 难度：简单

若函数，则f(x)是

 （A）最小正周期为的奇函数；  （B）最小正周期为的奇函数；

 （C）最小正周期为2的偶函数； （D）最小正周期为的偶函数；

4. 难度：简单

客车从甲地以60km/h的速度行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度行驶1小时到达丙地.下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间的关系图象中，正确的是

5. 难度：简单

已知数列｛｝的前n项和，第k项满足５＜＜８，则k=

 （A）9   （B）8   （C）7    （D）6

6. 难度：简单

图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形图表示学生人数

依次记为A₁、A₂、…A₁₀（如A₂表示身高（单位：cm）在[150，155内的人数]。图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。现要统计身高在160~180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是

 （A）i<6  (B) i<7    (C) i<8  (D) i<9

7. 难度：简单

图３是某汽车维修公司的维修点分布图，公司在年初分配给Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个维修点的某种配件各５０件，在使用前发现需将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个维修点的这批配件分别调整为４０、４５、５４、６１件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么完成上述调整，最少的调动件次（ｎ个配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为ｎ）为

　（Ａ）１５　　　（Ｂ）１６　　　

　（Ｃ）１７　　　（Ｄ）１８

8. 难度：简单

设S是至少含有两个元素的集合.在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a,b∈S,对于有序元素对(a,b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应）。若对于任意的a,b∈S,有

a*( b * a)=b，则对任意的a,b∈S,下列等式中不能成立的是

  （A）( a * b) * a =a          (B) [ a*( b * a)] * ( a*b)=a

  （B）b*( b * b)=b          （C）( a*b) * [ b*( a * b)] =b

二、填空题

9. 难度：简单

甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋

装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球。现分别从甲、乙两袋中各随机

抽取一个球，则取出的两球是红球的概率为______(答案用分数表示)

10. 难度：简单

若向量满足，的夹角为60°，则=______；

11. 难度：简单

在直角坐标系xOy中,有一定点A（2，1）。若线段OA的垂直平分线过抛物线的焦点，则该抛物线的准线方程是______;

12. 难度：简单

如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_____条，这些直线中共有对异面直线，则；f(n)=______(答案用数字或n的解析式表示)

13. 难度：简单

（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为（参数t∈R），圆C的参数方程为（参数），则圆C的圆心坐标为_______，圆心到直线l的距离为______.

14. 难度：简单

（不等式选讲选做题）设函数则=_____；若，则x的取值范围是________；

15. 难度：简单

（几何证明选讲选做题）如图所示，圆的直径，为

圆周上一点，.过作圆的切线，过作的垂线，

分别与直线、圆交于点、，则∠＝         ，

线段的长为                      。

三、解答题

16. 难度：简单

（本小题满分１2分）

　已知ABC的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、Ｃ(c,0)

（１）  若c=5，求sin∠A的值；

（２）  若∠A为钝角，求c的取值范围；

17. 难度：简单

下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据

ｘ	３	４	５	６
ｙ	２．５	３	４	４．５

（１）  请画出上表数据的散点图；

（２）  请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出ｙ关于ｘ的线性回归方程；

（３）  已知该厂技术改造前１００吨甲产品能耗为９０吨标准煤.试根据（２）求出的线性回归方程，预测生产１００吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？

（参考数据:  3×2．5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）

18. 难度：简单

（本小题满分14分）

   在直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为2的圆C与直线y=x相切于

坐标原点O.椭圆与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10。

  （1）求圆C的方程；

  （2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆的右焦点F的距离等于线段

OF的长，若存在求出Q的坐标；若不存在，请说明理由。

19. 难度：简单

（本小题满分14分）

如图6所示，等腰三角形△ABC的底边AB=，高CD=3.点E是线段BD上异于B、D的动点.点F在BC边上，且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE.

记BE=x，V（x）表示四棱锥P-ACFE的体积。

 （1）求V(x)的表达式；

 （2）当x为何值时，V(x)取得最大值？

 （3）当V（x）取得最大值时，求异面直线

AC与PF所成角的余弦值。

 

20. 难度：简单

（本题满分14分）

  已知a是实数，函数，如果函数在区间[-1，1]上有零点，求实数a的取值范围。

21. 难度：简单

（本题满分14分）

已知函数，是方程f(x)=0的两个根，是f(x)的导数.

设，（n=1,2,……）

 （1）求的值；

 （2）证明：对任意的正整数n，都有>a；

（3）记（n=1,2,……），求数列{b_n}的前n项和S_n。