2012届北京市东城区高二下学期期末考试理科数学

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数，，那么在复平面上对应的点位于

A. 第一象限         B. 第二象限         C. 第三象限         D. 第四象限

2. 难度：中等

的值为

A. 32                    B. 31                    C. 30                    D. 29

3. 难度：中等

已知，，那么等于

A.                  B.                    C.                    D.

4. 难度：中等

动点（为参数）的轨迹方程是

A.     B.    C.     D.

5. 难度：中等

图中由函数的图象与轴围成的阴影部分面积，用定积分可表示为

A.                                   B.

C.                                   D.

6. 难度：中等

以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是

A. ③④                B. ①②                C. ②③                D. ②④

7. 难度：中等

一个停车场有5个排成一排的空车位，现有2辆不同的车停进这个停车场，若停好后恰有2个相邻的停车位空着，则不同的停车方法共有

A. 6 种                  B. 12种                C. 36种                D. 72种

8. 难度：中等

若，，则的周期为。类比可推出：

设且，则的周期是

A.                    B.                  C.                  D.

9. 难度：中等

设函数是可导的函数，若满足，则必有

A.                    B.

C.                    D.

二、填空题

10. 难度：中等

由数字1，2，3，4组成没有重复数字的4位数，其中奇数共有____________个。

11. 难度：中等

已知，经计算得，，，

，，推测当时，有_____________。

12. 难度：中等

随机变量的分布列为

	0	1

且，则_________；____________。

13. 难度：中等

若，，则____________；___________。（其

中是极点）

14. 难度：中等

有甲、乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为（单位：），其分布如下：

		0	1
	0.1	0.8	0.1

			0	1	2
	0.1	0.2	0.4	0.2	0.1

则两种品牌中质量好的是____________。（填甲或乙）

15. 难度：中等

曲线与轴的交点的切线方程为_______________。

三、解答题

16. 难度：中等

（本小题满分8分）

已知直线的极坐标方程为，圆的参数方程（其中

为参数）。

（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）将圆的参数方程化为普通方程；

（Ⅲ）求圆上的点到直线的距离的最小值。

17. 难度：中等

（本小题满分7分）

有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上分别写上0，1，2，现从中任意抽取一张，将其上的数字记作，然后放回，再抽取一张，将其上的数字记作，令。

（Ⅰ）求所取各值的概率；

（Ⅱ）求的分布列，并求出的数学期望值。

18. 难度：中等

（本小题满分8分）

利用展开式

回答下列问题：

（Ⅰ）求的展开式中的系数；

（Ⅱ）通过给以适当的值，将下式化简：；

（Ⅲ）把（Ⅱ）中化简后的结果作为，求的值。

19. 难度：中等

（本小题满分8分）

数列满足。

（Ⅰ）计算，并由此猜想通项公式；

（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想。

20. 难度：中等

（本小题满分9分）

已知函数。

（Ⅰ）当时，求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）求的极大值；

（Ⅲ）求证：对于任意，函数在上恒成立。