2012届福建省福州市高二期末理科考试数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

复数的值是        

2. 难度：简单

已知向量与向量平行，则等于    

3. 难度：简单

用定积分的几何意义，则=   

4. 难度：简单

若复数（∈R，i为虚数单位）是纯虚数，

则实数的值为       

5. 难度：简单

长方体中，AA₁=AB=4，AD=2，

E、F、G分别是DD₁、AB、CC₁的中点则直线A₁E，

FG所夹的角的余弦值为         

6. 难度：简单

若且的最大值是          

7. 难度：简单

双曲线的一条准线将半实轴二等分，则它的离心率为            

8. 难度：简单

一物体沿直线以速度（的单位为:秒,的单位为:米/秒）的速度作变速直线运动，该物体从时刻t=0秒至时刻 t=秒间运动的路程      

9. 难度：简单

F是抛物线y²=4x的焦点，P是抛物线上任一点，A(3，1)是定点，则｜PF｜+｜PA｜的最小值是        

10. 难度：简单

以下两个命题：（1）xR, 使得sinx=;    （2） .   

 其中正确的是                 （写出所有真命题的序号）

11. 难度：简单

已知函数 ，则      

12. 难度：简单

以椭圆内的点为中点的弦所在直线方程为       

13. 难度：简单

以下四个命题：

    ① x＝0是函数f (x)＝x³＋2的极值点；

    ② 当无限趋近于0时，无限趋近于；

    ③ ¬q是¬p的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件；

    ④在ΔABC中，“A>30º ”是“sinA>”的必要不充分。

    其中真命题的序号为      （写出所有真命题的序号）

14. 难度：简单

空间四边形中，，  ，，则<>的值是      

15. 难度：简单

  如果函数的导函数的图像如右图所示，给出下列判断：

 (1) 函数在区间（4，5）内单调递增；

(2) 函数在区间（，2）内单调递增；

(3) 当x=时，函数有极大值;

(4) 当x=2时，函数有极小值;

  则上述判断中的是         

               

16. 难度：简单

已知某类学习任务的掌握程度与学习时间(单位时间)之间有如下函数关系:

（这里我们称这一函数关系为“学习曲线”）.

若定义在区间上的平均学习效率为，这项学习任务从在从第个

单位时间起的2个单位时间内的平均学习效率最高.则=      

二、解答题

17. 难度：简单

设p：方程表示是焦点在y轴上的椭圆；q：三次函数

在内单调递增,．求使“”为真命题的实数m的取值范围．

18. 难度：简单

已知函数,函数

⑴函数在处的切线与平行 ,求的值; （6分）

⑵在⑴的条件下,求直线与函数的图象所围成图形的面积.

19. 难度：简单

一蒸汽机火车每小时消耗煤的费用与火车行驶的速度的立方成正比，已知速度为时，每小时消耗的煤价值40元，其余费用每小时1250元，问火车行驶的速度是多少时（速度不超过），全程费用最少？

20. 难度：简单

如图，已知正方体边长都为2，且，

E是BC的中点，F是的中点，

（1）求证：。（2分）

(2)求点A到的距离。（5分）

(3)求证：CF∥。（3分）

(4) 求二面角E－ND－A的平面角大小的

余弦值。（4分）

21. 难度：简单

已知动点P与双曲线的两个焦点F₁，F₂的距离之和为定值，

且cos∠F₁PF₂的最小值为－.

（1）求动点P的轨迹方程；（6分）

（2）是否存在直线l与P点轨迹交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线

平分？若存在，求出直线l的斜率k的取值范围，若不存在说明理由.

22. 难度：简单

已知函数＝（e为自然对数的底数）

（Ⅰ）求函数单调递增区间；（5分）

（Ⅱ）若,求函数在区间[0，]上的最大值和最小值．（5分）

(III) 若函数的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围.

  (参考数据)（2分）