2012届贵州省高二下学期期末考试理科数学

一、选择题

1. 难度：中等

若空间中有四个点，则“这四个点中没有三点在同一直线上”是“这四个点不在

同一平面上”的                                                         （    ）

A．充分非必要条件； B．必要非充分条件； C．充要条件； D．非充分非必要条件；

2. 难度：中等

一袋中装有大小相同，编号分别为的八个球，从中有放回地每次取

一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为（　　）

Ａ．               Ｂ．               Ｃ．               Ｄ．

3. 难度：中等

“a，b为异面直线”是指：

①，且a与b不平行；        ②a平面，b平面，且；

③a平面，b平面，且；  ④a平面，b平面；

⑤不存在平面，能使a且b成立。

上述结论中，正确的是 

A．①④⑤正确       B．①⑤正确 C．②④正确  D．①③④正确

4. 难度：中等

随机变量，记，则下列式子中错误的是

A．                     B．

C．           D． 

5. 难度：中等

一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是、、 ，这个长方体对角线的长是                                                             [   ]

6. 难度：中等

如果的展开式中各项系数之和为128，则开式中的系数是（   ）

（A）      (B)       (C)       (D) 

7. 难度：中等

ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为

A．           B．            C．       D．           

8. 难度：中等

某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：每一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. 设成绩小于17秒的学生人数占全班人数的百分比为，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为，则从频率分布直方图中可以分析出和分别为（    ）

A．           B．          

C．            D．

9. 难度：中等

（海、宁理11文12）甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三

人的测试成绩如下表

甲的成绩
环数	7	8	9	10
频数	5	5	5	5

乙的成绩
环数	7	8	9	10
频数	6	4	4	6

丙的成绩
环数	7	8	9	10
频数	4	6	6	4

分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（　　）

Ａ．          Ｂ．    Ｃ．             Ｄ．

10. 难度：中等

有位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是，

假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为

A．                B．                          C．                 D．

11. 难度：中等

半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段、分别与球面交于点M，N，那么M、N两点间的球面距离是

（A）        （B） 

（C）              （D）

12. 难度：中等

考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于

（A）      （B）      （C）    （D）

二、填空题

13. 难度：中等

小张正在玩“QQ农场”游戏，他计划从仓库里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡

萝卜这5种种子中选出4种分别种植在四块不同的空地上（一块空地只能种植一种作物），

若小张已决定在第一块空地上种茄子或辣椒，则不同的种植方案共有___________

14. 难度：中等

如图，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是________．(要求：把可能的图的序号都填上)

15. 难度：中等

某单位200名职工的年龄分布情况如图2，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号…，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是     。若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取      人.

                图 2

16. 难度：中等

已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如右图所示，则该凸多面体的体积_____________

三、解答题

17. 难度：中等

（本小题满分10分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。

（Ⅰ）求三位同学都没有中奖的概率；

（Ⅱ）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率.

18. 难度：中等

（本小题满分12分）如图，在棱长为2的正方体的中点，P为BB₁的中点.

（I）求证；

（II）求异面直线所成角的大小；

19. 难度：中等

（本小题满分12分）学习小组有6个同学，其中4个同学从来没有参加过数学研究性学习活动，2个同学曾经参加过数学研究性学习活动.

（1）现从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，求恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率；

（2）若从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，活动结束后，该小组没有参加过数学研究性学习活动的同学个数是一个随机变量，求随机变量的分布列及数学期望.

20. 难度：中等

（本小题满分12分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，

AB=，AF=1，M是线段EF的中点。

(Ⅰ)求证：AM∥平面BDE；

(Ⅱ) 求二面角A－DF－B的大小.

（Ⅲ）试问：在线段AC上是否存在一点P，使得直线PF与AD所成角为60°？

21. 难度：中等

（本小题满分12分） 甲、乙两人在一场五局三胜制的象棋比赛中，规定甲或乙无论谁先赢满三局就获胜，并且比赛就此结束.现已知甲、乙两人每比赛一局甲取胜的概率是，乙取胜的概率为，且每局比赛的胜负是独立的，试求下列问题：

(Ⅰ)比赛以甲3胜1而结束的概率；

(Ⅱ)比赛以乙3胜2而结束的概率；

(Ⅲ)设甲获胜的概率为a，乙获胜的概率为b，求a：b的值.

22. 难度：中等

某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）. 凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管. 考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：① 凳子高度为，② 三根细钢管相交处的节点与凳面三角形重心的连线垂直于凳面和地面. （1）若凳面是边长为的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为，确定节点分细钢管上下两段的比值；

（2）若凳面是顶角为的等腰三角形，腰长为，节点分细钢管上下两段之比为. 确定三根细钢管的长度.