2010-2011年江苏省高二下学期期中考试理数

一、解答题

1. 难度：简单

（本小题满分14分）

已知p：，q：．

⑴ 若p是q充分不必要条件，求实数的取值范围；

⑵ 若“非p”是“非q”的充分不必要条件，求实数的取值范围．

2. 难度：简单

(本题满分15分)

已知a、b∈（0，+∞），且a+b=1,

求证：(1) ab≤    (2)+≥8;   (3) + ≥.  (5分+5分+5分)

3. 难度：简单

(本题满分15分)

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=n²a_n（n∈N^*）.

（1）试求出S₁，S₂，S₃，S₄，并猜想S_n的表达式；              

（2）用数学纳法证明你的猜想，并求出a_n的表达式.                 

4. 难度：简单

（本小题满分16分）

两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.

（1）按下列要求建立函数关系式：

（i）设（rad），将表示成的函数；并写出函数的定义域.      (5分)

（ii）设（km），将表示成的函数；并写出函数的定义域.        (5分) 

（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定垃圾处理厂的位置，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？          (6分)

5. 难度：简单

（本小题满分16分）

已知函数的图象过点，且在点处的切线与直线垂直．

(1) 求实数的值；                                                 (6分)

(2) 求在 （为自然对数的底数）上的最大值；               (5分)

(3) 对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？                   (5分)

二、填空题

6. 难度：简单

已知命题， 则:                               .

7. 难度：简单

“”是“直线与圆 相交”的              条件。             

（充分而不必要条件 、必要而不充分条件、充分必要条件、 既不充分也不必要条件）

8. 难度：简单

函数，的单调递增区间是          ．

9. 难度：简单

有下列四个命题：（1）“若，则”的逆命题；（2）“全等三角形的面积相等”的否命题；（3）“若，则有实根” 的逆命题；（4）“若，则”的逆否命题。  其中真命题的个数是________.

10. 难度：简单

．若，则 等于            

11. 难度：简单

已知数列{a_n}的前n项和，则数列{a_n}成等比数列的充要条件是r＝         ．

12. 难度：简单

计算            

13. 难度：简单

观察下列等式：,……，根据上述规律，第五个等式为­­­­­­­­­­­ ____               ________.

14. 难度：简单

已知复数满足=2，则的最大值为          ．

15. 难度：简单

设…，则          .

16. 难度：简单

已知函数在处有极大值，则=     。

17. 难度：简单

已知函数f(x) 在R上满足f(x)=2f(2-x)-x²+8x-8，则f’(1)=            .

18. 难度：简单

．已知扇形的圆心角为（定值），半径为（定值），分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为，则按图二作出的矩形面积的最大值为               .

 

19. 难度：简单

若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于          .

三、解答题

20. 难度：简单

（本小题满分14分）

已知为复数，和均为实数，其中是虚数单位．

（Ⅰ）求复数；

（Ⅱ）若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围．