2010-2011年甘肃省高二第二学期期中考试数学

一、选择题

1. 难度：简单

集合其中，且，把满足上述条件的一对有序整数对作为点，这样的点的个数是    （   ）

A、9          B、14          C、15          D、21

2. 难度：简单

把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，向量，则向量的概率是     （   ）

A、         B、         C、          D、

3. 难度：简单

、若，且，则…             （   ） 

A、          B、           C、         D、

4. 难度：简单

、已知矩形的一边在平面内，与平面所成角为，若，

，则到平面的距离为            （   ）

A、        B、         C、        D、

5. 难度：简单

、设命题甲：“直四棱柱中，平面与对角面垂直”，命题乙：“直四棱柱是正方体”，那么甲是乙的       （   ）

A、充分必要条件                B、充分非必要条件  

C、必要非充分条件              D、既非充分又非必要条件

6. 难度：简单

将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数是                       （   ）

A、360         B、300          C、180         D、150

7. 难度：简单

某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙至少有一人参加.当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为  （   ）

A、          B、          C、600           D、

8. 难度：简单

在半径为3的球面上有、、三点，，，球心到平面的距离是，则、两点的球面距离为     （   ）

A、          B、           C、           D、

9. 难度：简单

设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙、…的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则射击停止时，甲射击了两次的概率是           （   ）

A、            B、         C、           D、

10. 难度：简单

（理）如图，棋盘式街道中，某人从A地出发到达B地，若限制行进方向只能向右或向上，那么不经过E地的概率为             （   ）

A、               B、              C、             D、

（文）教师想从52名学生中抽取10名分析期中考试情况，一孩子在旁边随手拿了两支签，教师没在意，在余下的50个签中抽了10名学生，则其中的“学生甲”被教师抽到的概率为（   ）

A、            B、           C、           D、

二、填空题

11. 难度：简单

在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有    个.  

12. 难度：简单

、某公司有三个顾问，假定每个顾问发表的意见是正确的概率均为，现就某事可行与否征求各顾问的意见，并按顾问中多数人的意见作出决策，那么作出正确的决策的概率  ..Com]

13. 难度：简单

甲、乙、丙3人站在共有7级的台阶上，其中每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数       （用数字作答）。

14. 难度：简单

（理）在棱长为2的正方体中，、分别为棱和的中点，则线段被正方体的内切球球面截在球内的线段长为  .

（文）若一个正六棱柱的体积为，底面周长为3，则它的外接球的体积为   .

15. 难度：简单

（理）有3张都标着字母R，5张分别标着数字1，2，3，4，5的卡片，若任取其中4张卡片组成牌号，则可以组成的不同牌号的总数等于  （用数字作答）

（文）在5张分别标着数字1，2，3，4，5的卡片中，任取其中3张卡片，和3张都标着字母R的卡片一同组成牌号，则可以组成的不同牌号的总数等于（用数字作答）.

三、解答题

16. 难度：简单

（本小题8分）书架上有10本不同的书，其中语文书4本，数学书3本，英语书3本，现从中取出3本书.求：

( 1 )3本书中至少有1本是数学书的概率;

( 2 ) 3本书不全是同科目书的概率.

    【解析】
（1）3本书中至少有1本是数学书的概率为

               (4分)

 或解                      (4分)

   （2）事件“3本书不全是同科目书”的对立事件是事件“3本书是同科目书”，

    而事件“3本书是同科目书”的概率为    （7分

   ∴3本书不全是同科目书的概率              （8分）

17. 难度：简单

（理）（本小题8分）如图，在四棱锥中，底面是矩形， 平面，，，以的中点为球心、为直径的球面交于点.

(1) 求证:平面平面；

（2）求点到平面的距离.  

证明：（1）由题意，在以为直径的球面上，则

平面，则

又，平面，

∴，

平面，

∴平面平面.       （3分）

（2）∵是的中点，则点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，由（1）知，平面于，则线段的长就是点到平面的距离

 

     ∵在中，

     ∴为的中点，                 （7分）

     则点到平面的距离为                 （8分）

    （其它方法可参照上述评分标准给分）

18. 难度：简单

（文）（本小题8分）

如图，在四棱锥中，平面，，，，

（1）求证：；

（2）求点到平面的距离

   证明：（1）平面，

   又

   平面  （4分）

   （2）设点到平面的距离为，

   ，，

   求得即点到平面的距离为               （8分）

（其它方法可参照上述评分标准给分）

19. 难度：简单

（本小题8分）

已知展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大

（1）求展开式中二项式系数最大的项；

（2）求展开式中系数最大的项.

20. 难度：简单

（本小题8分）如图，正三棱柱的底面边长为，侧棱，

是延长线上一点，且

（1）求证：直线平面；

（2）求二面角的大小.

21. 难度：简单

（理）（本题8分）甲、乙、丙三人进行某项比赛，每局有两人参加，没有平局，在一局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，比赛的规则是先由甲和乙进行第一局的比赛，然后每局的获胜者与未参加此局比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中，有人获胜两局就算取得比赛的胜利，比赛结束.

   （1）求只进行两局比赛，甲就取得胜利的概率；  

（2）求只进行两局比赛，比赛就结束的概率；

   （3）求甲取得比赛胜利的概率.

20、（文）（本小题8分）甲、乙两人做定点投篮，投篮者若投中则继续投篮，否则由对方投篮，第一次甲投篮，已知甲、乙每次投篮命中的概率分别为、，且甲、乙投篮是否命中互不影响.

（1）求第三次由乙投篮的概率；

（2）求前4次投篮中各投两次的概率.