2010年北京市海淀区高三第二次模拟考试数学（理）

一、选择题

1. 难度：简单

已知集合，，则

A．                B．               C．          D．

2. 难度：简单

函数图象的对称轴方程可以为

A．              B．               C．               D． 

3. 难度：简单

如图，是⊙O的直径，切⊙O于点，连接，若，则的大小为

A.                   B.               C.                   D.

4. 难度：简单

函数在定义域内零点的个数为

A．0                     B．1                      C．2                      D．3

5. 难度：简单

已知不等式组所表示的平面区域的面积为4，则的值为

A．1                        B．                     

C．1或                D．0

6. 难度：简单

已知，是不同的直线，，是不同的平面，则下列条件能

使成立的是

A．，    B．，    C．，          D．，

7. 难度：简单

按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M处条件为

A．                B．            C．                 D．

8. 难度：简单

已知动圆C经过点(0，1),并且与直线相切，若直线与圆C有公共点，则圆C的面积

A．有最大值为                                                  B．有最小值为  

C．有最大值为                                              D．有最小值为     

二、填空题

9. 难度：简单

在极坐标系中，若点()是曲线上的一点，则      .

10. 难度：简单

某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如右图）.，分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差，则       .（填“”、“”或“＝”）                              

11. 难度：简单

已知向量a=，b=，若，则           ；       .

12. 难度：简单

已知数列满足，（N），则的值为             .

13. 难度：简单

在中，角,,所对应的边分别为,,，若，则的最大值为            .

14. 难度：简单

给定集合，映射满足：

①当时，；

②任取若，则有.

.则称映射：是一个“优映射”.例如：用表1表示的映射：是一个“优映射”.

                   表1                                    表2

	1	2	3
	2	3	1

	1	2	3	4
		3

（1）已知表2表示的映射： 是一个优映射，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；

（2）若映射：是“优映射”，且方程的解恰有6个，则这样的“优映射”的个数是_____.

三、解答题

15. 难度：简单

（本小题满分13分）

记等差数列的前n项和为，已知.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）令，求数列的前n项和.

16. 难度：简单

（本小题满分14分）

已知四棱锥，底面为矩形，侧棱，其中，为侧棱上的两个三等分点，如图所示.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值；

（Ⅲ）求二面角的余弦值.

17. 难度：简单

（本小题满分13分）

为保护水资源，宣传节约用水，某校4名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园进行宣传活动，每名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家，且每人的选择相互独立.

（Ⅰ）求4人恰好选择了同一家公园的概率；

（Ⅱ）设选择甲公园的志愿者的人数为，试求的分布列及期望．

18. 难度：简单

（本小题满分13分）

已知函数，其中a为常数，且.

（Ⅰ）若，求函数的极值点；

（Ⅱ）若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围.

19. 难度：简单

（本小题满分13分）

已知椭圆和抛物线有公共焦点F(1,0), 的中心和的顶点都在坐标原点，过点M（4，0）的直线与抛物线分别相交于A,B两点.

（Ⅰ）写出抛物线的标准方程；

（Ⅱ）若，求直线的方程；

（Ⅲ）若坐标原点关于直线的对称点在抛物线上，直线与椭圆有公共点，求椭圆的长轴长的最小值.

20. 难度：简单

（本小题满分14分）

已知函数的图象在上连续不断，定义：

，

．

其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值．若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”．

（Ⅰ）若，，试写出，的表达式；

（Ⅱ）已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的；如果不是，请说明理由；

（Ⅲ）已知，函数是上的2阶收缩函数，求的取值范围.