2010年北京市西城区高三第二次模拟考试数学（文）

一、选择题

1. 难度：简单

设集合，则等于                                 （    ）

       A．2                        B．3                        C．4                        D．6

2. 难度：简单

已知命题，则                                                                         （    ）

       A．                       B．

       C．                       D．

3. 难度：简单

设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为            （    ）

       A．1                        B．2                        C．3                        D．4

4. 难度：简单

“”是“”的                                                                                    （    ）

       A．充分非必要条件

       B．必要非充分条件

       C．充要条件           

       D．既不充分也不必要条件

5. 难度：简单

如图，三棱柱ABC—A₁B₁C₁的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱底面ABC，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为           （    ）

       A．

       B．

       C．

       D．4

6. 难度：简单

在数列中，为计算这个数列前10项的和，现给出该问题算法的程序框图（如图所示），则图中判断框（1）处合适的语句是            （    ）

       A．

       B．

       C．

       D．

7. 难度：简单

等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（    ）

       A．             B．

       C．              D．

8. 难度：简单

给出函数的一条性质：“存在常数M，使得对于定义域中的一切实数均成立。”则下列函数中具有这条性质的函数是                                       （    ）

       A．                                              B．

       C．                                          D．

二、填空题

9. 难度：简单

是虚数单位，             。

10. 难度：简单

函数的最小正周期是          ，最大值是            。

11. 难度：简单

在抛物线上，横坐标为2的点到抛物线焦点的距离为3，则     。

12. 难度：简单

圆心在轴上，且与直线切于（1，1）点的圆的方程为         。

13. 难度：简单

设为单位向量，的夹角为60°，则的最大值为        。

14. 难度：简单

我们可以利用数列的递推公式求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数。则          ；

       研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第     项。

三、解答题

15. 难度：简单

（本小题满分12分）

       在中，角A，B，C的对边分别为

   （I）求的值；

   （II）若的值。

16. 难度：简单

（本小题满分15分）

    在参加市里主办的科技知识竞赛的学生中随机选取了40名学生的成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；……第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图。

在选取的40名学生中。

   （I）求成绩在区间内的学生人数；

   （II）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，求至少有1名学生成绩在区间[90，100]内的概率。

17. 难度：简单

（本小题满分13分）

        如图，已知四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，侧棱BB₁⊥底面ABCD，E是侧棱CC₁的中点。

   （I）求证：AC⊥平面BDD₁B₁；

   （II）求证：AC//平面B₁DE。

18. 难度：简单

（本小题满分14分）

        已知椭圆的离心率为，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6。

   （I）求椭圆C的方程；

   （II）设直线与椭圆C交于A、B两点，点P（0，1），且|PA|=|PB|，求直线的方程。

19. 难度：简单

（本小题满分14分）

    设函数

   （I）求函数在区间[0，1]上的最小值；

   （II）当时，记曲线在点处的切线为与x轴交于点，求证：

20. 难度：简单

（本小题满分14分）

        若由数列生成的数列满足对任意的其中

，则称数列为“Z数列”。

   （I）在数列中，已知，试判断数列是否为“Z数列”；

   （II）若数列是“Z数列”，

   （III）若数列是“Z数列”，设求证