2010年北京市西城区高三第二次模拟考试数学（理）

一、选择题

1. 难度：简单

设集合，则等于                     （    ）

       A．{1，2，3，4}                                    B．{1，2，4，5}

       C． {1，2，5}                                        D．{3}

2. 难度：简单

“”是“”的                                                                                    （    ）

       A．充分非必要条件                                 B．必要非充分条件

       C．充要条件                                           D．既不充分也不必要条件

3. 难度：简单

若，则下列不等式中正确的是                                                                 （    ）

       A．               B．             C．D． 

4. 难度：简单

如图，三棱柱ABC—A₁B₁C₁的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱底面ABC，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为           （    ）

       A．

       B．

       C．

       D．4

5. 难度：简单

数列满足，则等于                 （    ）

       A．15                      B．10                      C．9                        D．5

6. 难度：简单

在数列中，为计算这个数列前10项的和，现给出该问题算法的程序框图（如图所示），则图中判断框（1）处合适的语句是            （    ）

      

A．

       B．

       C．

       D．

7. 难度：简单

设集合，集合是S的子集，且满足，那么满足条件的集合A的个数为（    ）

       A．78                      B．76

       C．84                      D．83

8. 难度：简单

如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，且AB=2AD，设，以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为，则                                         （    ）

                 

A．随着角度的增大，增大，为定值

       B．随着角度的增大，减小，为定值

       C．随着角度的增大，增大，也增大

       C．随着角度的增大，减小，也减小

二、填空题

9. 难度：简单

某区高二年级的一次数学统考中，随机抽取200名同学的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按下方式分成5组；第一组，成绩大于等于50分且小于60分；第二组，成 绩大于等于60分且小于70分；……第五组，成绩大于等于90分且小于等于100分。据此绘制了如图所示的频率分布直方图。则这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生有       名。

10. 难度：简单

在的展开式中，常数项是      。（结果用数值表示）

11. 难度：简单

如图，是圆的内接三角形，PA切圆于点A，PB交圆于点D。若，则     ，PA=      。

12. 难度：简单

圆为参数）的半径为       ，若圆C与直线相切，则                。

13. 难度：简单

设为单位向量，的夹角为60°，则的最大值为        。

14. 难度：简单

已知函数的定义域是D，关于函数给出下列命题：

       ①对于任意，函数是D上的减函数；

       ②对于任意，函数存在最小值；

       ③对于任意，使得对于任意的，都有>0成立；

       ④对于任意，使得函数有两个零点。

       其中正确命题的序号是       。（写出所有正确命题的序号）

三、解答题

15. 难度：简单

（本小题满分13分）

       如图，在四边形ABCD中，AB=3，AD=BC=CD=2，A=60°。

   （1）求的值；

   （2）求的面积。

16. 难度：简单

（本小题满分13分）

一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、5，现从盒子中随机抽取卡片。

   （I）若从盒子中有放回地抽取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到的卡片上数字为偶数的概率；

   （II）若从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当取到一张记有偶数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数X的分布列和期望。

17. 难度：简单

（本小题满分13分）

        如图，已知四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA₁=2。

   （I）求证：C₁D//平面ABB₁A₁；

   （II）求直线BD₁与平面A₁C₁D所成角的正弦值；

   （Ⅲ）求二面角D—A₁C₁—A的余弦值。

18. 难度：简单

（本小题满分13分）

            已知，函数，记曲线在点处切线为与x轴的交点是，O为坐标原点。

   （I）证明：

   （II）若对于任意的，都有成立，求a的取值范围。

19. 难度：简单

（本小题满分14分）

        椭圆短轴的左右两个端点分别为A，B，直线与x轴、y轴分别交于两点E，F，交椭圆于两点C，D。

   （I）若，求直线的方程；

   （II）设直线AD，CB的斜率分别为，若，求k的值。

20. 难度：简单

（本小题满分14分）

        在数列和中，已知，其中且。

   （I）若，求数列的前n项和；

   （II）证明：当时，数列中的任意三项都不能构成等比数列；

   （III）设集合，试问在区间[1，a]上是否存在实数b使得，若存在，求出b的一切可能的取值及相应的集合C；若不存在，说明理由。