2010年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学试题

一、填空题

1. 难度：简单

设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a²+4},A∩B={3}，则实数a=______ ________

2. 难度：简单

设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______ ________

3. 难度：简单

盒子中有大小相同的3只小球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ __

4. 难度：简单

某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_ ___根在棉花纤维的长度小于20mm。

5. 难度：简单

设函数f(x)=x(e^x+ae^-x),x∈R，是偶函数，则实数a=_______ _________

6. 难度：简单

在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是___ _______

7. 难度：简单

右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______ _______

8. 难度：简单

函数y=x²(x>0)的图像在点(a_k,a_k²)处的切线与x轴交点的横坐标为a_k+bk为正整数，a₁=16，则a₁+a₃+a₅=____ _____

9. 难度：简单

在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是______ _____

10. 难度：简单

定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP₁⊥x轴于点P₁,直线PP₁与y=sinx的图像交于点P₂,则线段P₁P₂的长为_______ _____

11. 难度：简单

已知函数,则满足不等式的x的范围是____ ____

12. 难度：简单

设实数x,y满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是_____ ____

13. 难度：简单

在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，，则__

14. 难度：简单

将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=,则S的最小值是_______ _______

二、解答题

15. 难度：简单

（14分）在平面直角坐标系xOy中，点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1)

（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长

（2）设实数t满足()·=0，求t的值

16. 难度：简单

（14分）如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC，∠BCD=90⁰

（1）求证：PC⊥BC

（2）求点A到平面PBC的距离

17. 难度：简单

（14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β

（1）该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值

（2）该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α-β最大

18. 难度：简单

（16分）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左右顶点为A,B，右顶点为F，设过点T（）的直线TA,TB与椭圆分别交于点M，，其中m>0,

①设动点P满足,求点P的轨迹

②设，求点T的坐标

③设,求证：直线MN必过x轴上的一定点

（其坐标与m无关）

19. 难度：简单

（16分）设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列.

①求数列的通项公式（用表示）

②设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为

20. 难度：简单

（16分）设使定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有>0，使得，则称函数具有性质.

(1)设函数，其中为实数

①求证：函数具有性质

②求函数的单调区间

(2)已知函数具有性质，给定，，且，若||<||,求的取值范围

21. 难度：简单

21（从以下四个题中任选两个作答，每题10分）

（1）几何证明选讲

AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交AB延长线于C，若DA=DC，求证AB=2BC

（2）矩阵与变换

在平面直角坐标系xOy中，A(0,0),B(-3,),C(-2,1),设k≠0，k∈R，M=,N=,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点A₁,B₁,C₁,△A₁B₁C₁的面积是△ABC面积的2倍，求实数k的值

（3）参数方程与极坐标

在极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值

（4）不等式证明选讲

已知实数a,b≥0，求证：

22. 难度：简单

（10分）某厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品一等品80%，二等品20%；生产乙产品，一等品90%，二等品10%。生产一件甲产品，如果是一等品可获利4万元，若是二等品则要亏损1万元；生产一件乙产品，如果是一等品可获利6万元，若是二等品则要亏损2万元。设生产各种产品相互独立

（1）记x（单位：万元）为生产1件甲产品和件乙产品可获得的总利润，求x的分布列

（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率

23. 难度：简单

（10分）已知△ABC的三边长为有理数

（1）求证cosA是有理数

（2）对任意正整数n，求证cosnA也是有理数