2010年江苏省南京市高三上学期期中考试数学试题

一、填空题

1. 难度：困难

设集合M={x|0≤x-≤1}，函数

的定义域为N，则M∩N=           。

2. 难度：困难

已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，则z=        ．

3. 难度：困难

函数y=x²—2x (x∈[0，3]的值域是          

4. 难度：困难

已知。且a∈（一，0），则sin()=           。

5. 难度：困难

在△ABC中，AB=．A=45°，B=75°，则BC等于           。

6. 难度：困难

已知直线是曲线y=lnx(x>0)的一条切线，则实数b的值是           。

7. 难度：困难

一个算法的流程图如图所示？若输入的n是100，则输出值S是             。

8. 难度：困难

已知集合A=(x，y）|x一2y一l=0},B={(x，y)|ax-by+1=0}，其中a，b∈{1,2，3，4，5，6}，则A∩B=的概率为           .

9. 难度：困难

．函数 (其中A>0,,)的图象如图所示，则，f(0)=       。

10. 难度：困难

已知在区间[1，+∞）上是单调增函数，则实数的最大值是     。

11. 难度：困难

不等式对于一切非零实数均成立，则实数的取值范围是     。

12. 难度：困难

已知向量，设向量，则         。

13. 难度：困难

设，若函数在区间上是增函数，则的取值范围是               。

14. 难度：困难

对于函数，下列结论正确的是         。

  ①

  ②有两个不等的实数解；

  ③在R上有三个零点；                 

    ④

二、解答题

15. 难度：困难

已知

   （1）求函数的最小正周期；

   （2）若，求的值。

16. 难度：困难

如图，为正三角形，平面ABC，AD//BE，且BE=AB+2AD，P是EC的中点。

  求证：（1）PD//平面ABC；

   （2）EC平面PBD。

17. 难度：困难

为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同。若使用注射方式给药，则在注射后的3小时内，药物在白鼠血液内的浓度与时间t满足关系式：，若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度与时间t满足关系式：现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰。

   （1）若a=1，求3小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值？

   （2）若使小白鼠在用药后3小时内血液中的药物浓度不低于4，求正数a的取值范围。

18. 难度：困难

设，函数

   （1）求m的值，并确定函数的奇偶性；

   （2）判断函数的单调性，并加以证明。

19. 难度：困难

已知函数

   （1）若函数的图象的一个公共点恰好在x轴上，求a的值；

   （2）若p和q是方程的两根，且满足证明：

        当

20. 难度：困难

若存在实数k，b，使得函数和对其定义域上的任意实数x同时满足：，则称直线：为函数的“隔离直线”。已知（其中e为自然对数的底数）。试问：

   （1）函数的图象是否存在公共点，若存在，求出交点坐标，若不存在，说明理由；

   （2）函数是否存在“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的方程；若不存在，请说明理由。

21. 难度：困难

附加题) 已知矩阵，

   （1）计算AB；

   （2）若矩阵B把直线的方程。

22. 难度：困难

附加题) 已知的极坐标方程分别是（a是常数）.

   （1）分别将两个圆的极坐标方程化为直角坐标方程；

   （2）若两个圆的圆心距为的值。

23. 难度：困难

附加题) 如图所示，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，D是棱CC₁的中点。

   （1）证明：A₁D⊥平面AB₁C₁；

   （2）求二面角B—AB₁—C₁的余弦值；

24. 难度：困难

附加题) 某电视台的一个智力游戏节目中，有一道将四本由不同作者所著的外国名著A、B、C、D与它们的作者连线的题目，每本名著只能与一名作者连线，每名作者也只能与一本名著连线。每连对一个得3分，连错得一1分，一名观众随意连线，他的得分记作X。

   （1）求该观众得分非负的概率；

   （2）求X的分布列及数学期望。