2010年江苏省高三第四次模拟考试数学试题

一、填空题

1. 难度：简单

集合，则=         ．

2. 难度：简单

在复平面内，复数对应的点到直线的距离是         ．

3. 难度：简单

已知函数，则的值为_____________．

4. 难度：简单

在，，，，则的形状为       ．

5. 难度：简单

若方程的唯一解为，且，则        ．

6. 难度：简单

已知、、是直线，是平面，给出下列命题：①若，，则；

②若，，则；③若，，则；④若，，则；⑤若与异面，则至多有一条直线与、都垂直．其中真命题是            ．（把符合条件的序号都填上）

7. 难度：简单

设，，，,为坐标原点，若、、三点共线，则的最大值是          ．

8. 难度：简单

若数列的通项公式，记，试通过计算、、的值，推测出          ．

9. 难度：简单

在同一平面直角坐标系中，已知函数的图象与的图象关于直线对称，则函数对应的曲线在点（）处的切线方程为            ．

10. 难度：简单

如图，在中，，、边上的高分别为、，则以、为焦点，且过、的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为      .

11. 难度：简单

如果执行下面的程序框图，那么输出的值为           .

12. 难度：简单

定义：关于的两个不等式和的解集分别为和，则称这两个不等式为对偶不等式.如果不等式与不等式为对偶不等式，且，则             .

13. 难度：简单

已知函数（），若在区间上是单调减函数，则的最小值为      .

14. 难度：简单

已知连续个正整数总和为，且这些数中后个数的平方和与前个数的平方和之差为．若，则的值为        ．

二、解答题

15. 难度：简单

某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段，…后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：

(Ⅰ)求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；

(Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；

(Ⅲ）用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为的样本，将该样本看成一个总体，从中任取人，求至多有人在分数段的概率.

16. 难度：简单

已知向量，，设函数．

（1）求函数的最大值；

（2）在锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，，且的面积为3，，求的值．

17. 难度：简单

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为菱形，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD．

（1）证明：BD⊥AA₁；

（2）证明：平面AB₁C//平面DA₁C₁

（3）在直线CC₁上是否存在点P，使BP//平面DA₁C₁？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．

18. 难度：简单

如图，已知圆交轴于、两点，在圆上运动（不与、重合），过作直线，垂直于交直线于点．

（1）求证：“如果直线过点，那么”为真命题；

（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

19. 难度：简单

已知等比数列的前项和为，且点在函数的图象上．

（1）求的值；

（2）若数列满足：，且．求数列的通项公式．

20. 难度：简单

设、．

（1）若在上不单调，求的取值范围；

（2）若对一切恒成立，求证：；

（3）若对一切，有，且的最大值为1，求、满足的条件．

21. 难度：简单

[选做题]

A．选修4—1：几何证明选讲

    如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC=PD，求证：

   （1）l是⊙O的切线；

   （2）PB平分∠ABD．

B．选修4—2：矩阵与变换

二阶矩阵对应的变换将点与分别变换成点与．求矩阵；

C．选修4—4：坐标系与参数方程

若两条曲线的极坐标方程分别为=l与=2cos(θ+)，它们相交于A，B两点，求线

 段AB的长．

D．选修4—5：不等式选讲

求函数的最大值．

22. 难度：简单

（本小题10分）口袋中有个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X．若，求：

   （1）n的值；

   （2）X的概率分布与数学期望．

23. 难度：简单

（本小题10分）已知曲线，过作轴的平行线交曲线于，过作曲线的切线与轴交于，过作与轴平行的直线交曲线于，照此下去，得到点列，和，设，．

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：；

（3）求证：曲线与它在点处的切线，以及直线所围成的平面图形的面积与正整数的值无关．