2010年湖北省高一下学期期末考试数学试卷

一、选择题

1. 难度：简单

已知数列{a_n}的前n项和S_n＝n(n－40), 则下列判断正确的是                             （　　）

A．a₁₉＞0, a₂₁＜0            B．a₂₀＞0, a₂₁＜0     C．a₁₉＜0, a₂₁＞0     D．a₁₉＜0, a₂₀>0

2. 难度：简单

直线x－2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是                                                （　　）

A．x+2y－1=0                 B．2x+y－1=0          C．2x+y－3=0          D．x+2y－3=0

3. 难度：简单

与圆C: x²+(y+5)²=3相切, 且横、纵截距相等的直线共有                                   （　　）

A．6条                           B．4条                    C．3条                    D．2条

4. 难度：简单

设a, b为两条直线, α、β为两个平面, 下列四个命题中, 正确的命题是               （　　）

A．若a, b与α所成的角相等, 则a∥b

B．若a∥α, b∥β, α∥β, 则a∥b

C．若aα, bβ, a∥b, 则α∥β

D．若a⊥α, b⊥β, α⊥β, 则a⊥b

5. 难度：简单

如图, BC是单位圆A的一条直径, F是线段AB上的点, 且BF＝2FA, 若DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径, 则·的值是                                                            （　　）

A．－                         B．－

C．－                          D．不确定

6. 难度：简单

在三棱锥P－ABC中, PA⊥平面ABC, ∠BAC=90°, AB≠AC, D、E分别是BC, AB中点, AC＞AD, 设PC与DE所成的角为α, PD与平面ABC所成的角为β, 二面角P－BC－A的平面角为γ, 则α、β、γ的大小关系是          （　　）

A．α＜β＜γ                     B．α＜γ＜β              C．β＜α＜γ              D．γ＜β＜α

7. 难度：简单

某空间几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积是                                      （　　）

A．

B．

C．1

D．2

8. 难度：简单

点P(－2, －1)到直线l: (1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ的距离为d, 则d的取值范围是

                                                                                                                              （　　）

A．0≤d＜                B．d≥0                    C．d＞             D．d≥

9. 难度：简单

已知球O是棱长为1的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的内切球, 则平面ACD₁截球O的截面面积为                         （　　）

A．                            B．                      C．                      D．π

10. 难度：简单

设a＞b＞c＞0, 则2a²+－10ac+25c²的最小值是                           （　　）

A．2                               B．4                        C．2                  D．5

二、填空题

11. 难度：简单

过原点且倾斜角为60°的直线被圆x²+y²－4y=0所截得的弦长为　　　　　　.

12. 难度：简单

已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为90°半径为4的扇形, 则圆锥的体积为　　　　.

13. 难度：简单

设x, y满足的约束条件, 若目标函数z=abx+y的最大值为8, 则a+b的最小值为　　　　　　　.ab均大于0.

14. 难度：简单

设直线系M: x cosθ+(y－2)sinθ=1(0≤θ＜2π),

下列四个命题中:

①存在定点P不在M中的任一条直线上;

②M中所有直线均经过一个定点;

③对于任意整数n(n≥3), 存在正n边形, 其所有边均在M中的直线上;

④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.

其中真命题的序号是　　　　　　　　(写出所有真命题的序号).

15. 难度：简单

如图所示, C是半圆弧x²+y²=1(y≥0)上一点, 连接AC并延长至D, 使|CD|=|CB|, 则当C点在半圆弧上从B点移动至A点时, D点所经过的路程为　　　　　　.

三、解答题

16. 难度：简单

(本小题12分) 在△ABC中, 角A、B、C所对的边分别为a、b、c, 且tanA=, sinB=.

（1）求tanC的值;

（2）若△ABC最长的边为1, 求b.

17. 难度：简单

(本小题12分) 已知两条直线l₁: ax－by+4=0和l₂: (a－1)x+y+b=0, 求满足下列条件的a, b的值.

（1）l₁⊥l₂, 且l₁过点(－3, －1);

（2）l₁∥l₂, 且坐标原点到这两条直线的距离相等.

18. 难度：简单

(本小题12分) 如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形, PA⊥底面ABCD, PA＝2,

∠PDA=45°, 点E、F分别为棱AB、PD的中点.

（1）求证: AF∥平面PCE;

（2）求证: 平面PCE⊥平面PCD;

（3）求AF与平面PCB所成的角的大小.

19. 难度：简单

(本小题12分)已知: 以点C (t, )(t∈R , t ≠ 0)为圆心的圆与轴交于点O, A, 与y轴交于点O, B, 其中O为原点.

（1）求证：△OAB的面积为定值;

（2）设直线y = –2x+4与圆C交于点M, N, 若OM = ON, 求圆C的方程.

20. 难度：简单

(本小题13分) 如图所示, PQ为平面的交线, 已知二面角为直二面角,  , ∠BAP＝45°.

（1）证明: BC⊥PQ;

（2）设点C在平面内的射影为点O, 当k取何值时, O在平面ABC内的射影G恰好为△ABC的重心？

（3）当时, 求二面角B－AC－P的大小.

21. 难度：简单

(本小题14分) 已知满足ax·f(x)=2bx+f(x), a≠0, f(1)=1且使成立的实数x有且只有一个.

（1）求的表达式;

（2）数列满足：, 证明：为等比数列.

（3）在（2）的条件下, 若, 求证: