2013届北京市高二上学期期中考试理科数学

一、选择题

1. 难度：简单

一个年级有16个班级，每个班级学生从1到50编号，为了交流学习经验，要求每班编号为14的同学留下进行交流，这里运用的是（    ）

A．分层抽样      B．抽签法        C．随机数表法         D．系统抽样

2. 难度：简单

将两数a=8,b=17交换，使a=17,b=8,则下面语句正确的一组是（    ）

3. 难度：简单

某程序的框图如右图所示，若执行该程序，输出的值为(   )

A. 45         B.36        C.25        D.16

4. 难度：简单

在某五场篮球比赛中，甲、乙两名运动员得分的茎叶图如上.下列说法正确的是（     ）

A．在这五场比赛中，乙的平均得分比甲好，且乙比甲稳定

B．在这五场比赛中，乙的平均得分比甲好，但甲比乙稳定

C．在这五场比赛中，甲的平均得分比乙好，且甲比乙稳定

D．在这五场比赛中，甲的平均得分比乙好，但乙比甲稳定

5. 难度：简单

已知三棱锥，点分别为的中点，且，用、、表示，

则等于(    )

A．      B．  C．      D．

6. 难度：简单

在三棱锥中，，平面,  .  若其主视图，俯视图如图所示，则其左视图的面积为(   )

 A.             B.         C.            D.

7. 难度：简单

从中随机抽取一个数记为，从中随机抽取一个数记为,则函数的图象经过第三象限的概率是（   ）

    A.                B.                 C.             D.

8. 难度：简单

，是等腰直角△斜边上的三等分点，则（   ）

A．             B．              C．            D．

9. 难度：简单

已知是两条不同直线， 是两个不同平面.下列命题中不正确的是   （    ）

A．若∥，，则//      B．若//，，则⊥

C．若，，则∥        D．若，，则

10. 难度：简单

如图，正方体中，，分别为  棱，上的点. 已知下列判断：①平面；②在侧面上  的正投影是面积为定值的三角形；③在平面内总存在与平面平行的直线；④平面与平面所成的二面角（锐角）的大小与点的位置有关，与点的位置无关. 其中正确判断的个数有（  ）

A.1个          B.2个     C.3个          D.4个

二、填空题

11. 难度：简单

. 某校有学生人，其中高一学生人.为调查学生了解消防知识的现状，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个人的样本，那么样本中高一学生的人数为_____. 

12. 难度：简单

先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12，11，10的概率依次是 则三个数从大到小的顺序为________.                  

13. 难度：简单

按流程图的程序计算，若开始输入的值为，则输出的.

 

14. 难度：简单

在平面直角坐标系中，平面区域中的点的坐标满足，　从区域中随机取点．

（Ⅰ）若，，点位于第一象限的概率是       ；

（Ⅱ）若，， 的概率是       ．

15. 难度：简单

过点的圆与直线相切于点，则圆的标准方程为_     __, 圆截轴所得的弦长为_____________.

16. 难度：简单

对任意数列A：，，…，，…，定义△A为数列，如果数列A使得△(△A)的所有项都是1，且，则        ．

三、解答题

17. 难度：简单

（本小题满分14分）

在三角形中，、、的对边分别为、、，若（Ⅰ）求的大小。（Ⅱ）若、，求三角形的面积.

18. 难度：简单

(本小题满分14分)

从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组、第二组；…第八组，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．

 

(1)估计这所学校高三年级全体男生身高180cm以上（含180cm）的人数；

(2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图；

 (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为，求满足的事件概率．

19. 难度：简单

（本题满分14分）如图，在三棱柱中，

每个侧面均为正方形，为底边的中点，为侧棱的中点.

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.

20. 难度：简单

（（本题满分14分）已知，如图四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且AG=GD，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，四面体P—BCG的体积为．（Ⅰ）求异面直线GE与PC所成角的余弦；（Ⅱ）求点D到平面PBG的距离；（Ⅲ）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求的值．

21. 难度：简单

（（本题满分14分）对于给定数列，如果存在实常数，使得对于任意都成立，我们称数列是 “M类数列”．

（I）若，，，数列、是否为“M类数列”？若是，指出它对应的实常数，若不是，请说明理由；

（II）若数列满足，．

（1）   求数列前项的和．(2)已知数列是 “M类数列”，求.