2013届度广东省高二第一学期期中理科数学试卷

一、选择题

1. 难度：简单

已知，，那么（    ）

A．     B．     C．     D．

2. 难度：简单

已知，则函数的最小值为（    ）

A．1           B．2             C．3               D．4

3. 难度：简单

不在表示的平面区域内的点是 （    ）

A．       B．             C．           D．

4. 难度：简单

如右图，是的直径，是圆周上不同于、的任意一点，平面，则四面体的四个面中，直角三角形的个数有（    ）

A．个         B．个       C．个           D．个

5. 难度：简单

已知α、β是两个不同平面，m、n是两条不同直线，则下列命题不正确的是(    )

A．则          B．m∥n，m⊥α，则n⊥α

C．n∥α，n⊥β，则α⊥β       D．m∥β，m⊥n，则n⊥β

6. 难度：简单

已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如右图所示的直观图，

其中B′O′=C′O′=1,A′O′=，那么原△ABC是一个(    )

A．等边三角形                           B．直角三角形

C．三边中只有两边相等的等腰三角形       D．三边互不相等的三角形

7. 难度：中等

已知圆O在平面α内，PO⊥平面α，A在圆O上，如果圆O的周长与PA长之比为π，那么AP与平面α所成角（    ）

A．         B．        C．        D．

8. 难度：中等

如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为    (    )

A．         B．         C．           D．

二、填空题

9. 难度：困难

设、满足条件，则的最小值是               

10. 难度：困难

设点B是点关于xOy面的对称点，则=           

11. 难度：困难

若＞0，＞0，且，则的最小值为          

12. 难度：困难

若正方体外接球的体积是，则正方体的棱长等于_____________

13. 难度：简单

如果关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是         

14. 难度：简单

如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水。若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则=                

15. 难度：中等

已知.

（1）为何值时，函数的图象与轴有两个不同的交点；

（2）如果函数有两个一正一负的零点，求实数的取值范围 

16. 难度：中等

一个正三棱台的上下底面边长分别为3cm和6cm，高是  cm，求三棱台的侧面积。

三、解答题

17. 难度：简单

已知一个几何体的三视图如图所示。

（1）求此几何体的表面积；

（2）如果点在正视图中所示位置：为所在线段中点，为顶点，求在几何体表面上，从点到点的最短路径的长。

18. 难度：简单

如图，在三棱锥中，分别为的中点。

（1）求证：平面；

（2）若平面平面，且，，求证：平面平面。

19. 难度：中等

在三棱锥 中，,.

（1）求三棱锥的体积；

（2）求二面角的大小；

（3）求异面直线SB和AC所成角的余弦值。

20. 难度：困难

如图，已知斜四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，且∠C₁CB=∠C₁CD=∠BCD．

(1)  证明：C₁C⊥BD；

(2)  当的值为多少时，能使A₁C⊥平面C₁BD？请给出证明