2013届江苏省高二上学期期中数学试卷

一、填空题

1. 难度：简单

抛物线的焦点为       

2. 难度：简单

已知直线的充要条件是=        

3. 难度：简单

已知圆：和点，则过且与圆相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于        

4. 难度：简单

双曲线的渐近线方程是，焦点在轴上，则该双曲线的离心率等于       

5. 难度：简单

已知圆，直线，则与圆相切，且与直线垂直的直线方程为        

6. 难度：简单

椭圆的两焦点为、，过作直线交椭圆于、两点，则的周长为       

7. 难度：中等

已知圆和过原点的直线的交点为、，则的值为        

8. 难度：中等

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为4的正方形，设为该椭圆上的动点，C、D的坐标分别是，则的最大值为       

9. 难度：困难

若⊙与⊙相交于、两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段的长度是      

10. 难度：困难

将一颗骰子抛掷两次，第一次出现的点数记为，第二次出现的点数记为，设两条直线，平行的概率为，相交的概率为，则所对应的点在直线的________方（填“上”或“下”）．

11. 难度：困难

在平面直角坐标系中，设直线和圆相切，其中，，，若函数 的零点，则      

12. 难度：困难

点、是双曲线右支上的两点，中点到轴的距离为，则的最大值为      

13. 难度：简单

如图，已知是椭圆 的左、右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且点为线段的中点，则椭圆的离心率为      

14. 难度：简单

以下四个关于圆锥曲线的命题中：

①设、为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线；

②过定圆上一定点作圆的动弦，为坐标原点，若则动点的轨迹为椭圆；

③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

④双曲线有相同的焦点.

其中真命题的序号为         .（写出所有真命题的序号）

二、解答题

15. 难度：中等

已知圆与两坐标轴都相切，圆心到直线的距离等于.

（1）求圆的方程；

（2）若圆心在第一象限，点是圆上的一个动点，求的取值范围．

三、填空题

16. 难度：中等

椭圆的左、右焦点分别为、，直线过与椭圆相交于、两点，为坐标原点，以为直径的圆恰好过，求直线的方程.

四、解答题

17. 难度：简单

已知抛物线方程为，过点的直线AB交抛物线于点、，若线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围.

18. 难度：中等

已知舰在舰的正东，距离6公里，舰在舰的北偏西30°，距离4公里，它们准备围找海洋动物，某时刻舰发现动物信号，4秒后，舰，同时发现这种信号，于是发射麻醉炮弹，设舰与动物都是静止的，动物信号的传播速度为1公里/1秒，求舰炮击的方位角．

19. 难度：困难

已知椭圆的离心率为，过右顶点的直线与椭圆相交于、两点，且.

（1）求椭圆和直线的方程；

（2）记曲线在直线下方的部分与线段AB所围成的平面区域（含边界）为．若曲线与有公共点，试求实数的最小值．

20. 难度：困难

已知椭圆的方程为，点分别为其左、右顶点，点分别为其左、右焦点，以点为圆心，为半径作圆；以点为圆心，为半径作圆；若直线被圆和圆截得的弦长之比为；

（1）求椭圆的离心率；

（2）己知，问是否存在点，使得过点有无数条直线被圆和圆截得的弦长之比为；若存在，请求出所有的点坐标；若不存在，请说明理由．