2013届江西省上饶市、德兴一中等高二四校联考数学试卷

一、选择题

1. 难度：中等

设，则“”是“  （    ）

       A．充分而不必要条件                            B．充分必要条件

       C．必要而不充分条件                         D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模若，则  （  　 ）

A．                  B．2         C．                  D．4

3. 难度：中等

.现有四个函数① ② ③ ④的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是 （   （（     ）

A. ①④②③        B. ①④③②       C. ④①②③         D. ③④②①

4. 难度：中等

某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加．当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言顺序的种数为(　　)                                                        

A． 360          B．520              C．600               D．720

5. 难度：中等

设A={（x,y)|(x-1)²+y²≤25},B={(x,y)|(x+1)²+y²≤25},C_t={(x,y)||x|≤t,|y|≤t,t>0},则满足C_t（A∩B）时，t的最大值是                 （   ）

A.3         B.4             C.5             D.6

6. 难度：中等

某游戏中,一个珠子从如图所示的通道由上至下滑下,从最下面的六个出口出来,规定猜中出口者为胜.如果你在该游戏中,猜得珠子从出口3出来,那么你取胜的概率为(   )

A.           B.       C.        D.以上都不对

7. 难度：中等

已知点表示的平面区域内的一个动点，且目标函数的最大值为7，最小值为1，则的值为（    ）                                                        

       A．2                           B．                         C．-2                          D．-1

8. 难度：中等

已知直线l在平面α、β上的射影分别是直线a,b.有以下四个命题：①若α∥β，则a∥b； ②若α⊥β，则a⊥b；③若a与b相交,则直线l垂直于α、β的交线;④ 若l垂直于α、β的交线,则a与b相交; 则正确的命题是（    ）.

A．①②           B．①③          C．③④          D．①④

9. 难度：中等

设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、 两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是                                                 （    ）

       A．            B．

      C．            D．

10. 难度：中等

在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设是非零实数，且满足，则＝ （     ）                                                            

A．4                     B．                 C．2                     D．

二、填空题

11. 难度：中等

，则=           

12. 难度：中等

已知点及抛物线，若抛物线上点满足，则的最大值为           

13. 难度：中等

下图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图甲中从左向右第一组的频数为4000．在样本中记月收入在，,的人数依次为、、……、．图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图，图乙输出的          ．（用数字作答）

14. 难度：中等

如图，在每个三角形的顶点处各放置一个数，使位于的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别成等差数列．若顶点A,B,C处的三个数互不相同且和为1，则所有顶点上的数之和等于                    ．

15. 难度：中等

设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题：

①设是平面上的线性变换，，则    

②若是平面上的单位向量，对，则是平面上的线性变换；

③对，则是平面上的线性变换；

④设是平面上的线性变换，，则对任意实数均有。

其中的真命题是                     （写出所有真命题的编号）

三、解答题

16. 难度：中等

在锐角中，角所对的边分别为，已知

（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围.

17. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，a_n,S_n,S_n－成等比数列.

(1)求a₂,a₃,a₄，并推出a_n的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论；

(3)求数列{a_n}前n项的和.

18. 难度：中等

袋中装有13个红球和个白球，这些红球和白球除了颜色不同之外，其余都相同，从袋中同时取两个球.

(1)若取出的是2个红球的概率等于取出的是一红一白两个球的概率的3倍，试求的值；

(2) 某公司的某部门有21位职员，公司将进行抽奖活动，在（1）的条件下，规定：每个职员都从袋中同时取两个球，然后放回袋中，摇匀再给别人抽奖，若某人取出的两个球是一红一白时，则中奖（奖金1000元）；否则，不中奖（也发鼓励奖金100元）．试求此公司在这次抽奖活动中所发奖金总额的期望值.

19. 难度：中等

如图(1)在等腰中，D，E，F分别是AB，AC和BC边的中点，，

现将沿CD翻折成直二面角A-DC-B.(如图(2))

(I)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，

并说明理由；(II).求二面角E-DF-C的余弦值；

(III)在线段BC是否存在一点P，但APDE？证明你的结论.

20. 难度：中等

设a为实数，设函数的最大值为g(a)。

　　　（Ⅰ）设t＝，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)

（Ⅱ）求g(a)（Ⅲ）试求满足的所有实数a

21. 难度：中等

已知椭圆内有圆，如果圆的切线与椭圆交A、B两点，且满足（其中为坐标原点）．

（1）求证：为定值；

（2）若达到最小值，求此时的椭圆方程；

（3）在满足条件（2）的椭圆上是否存在点P，使得从P向圆所引的两条切线互相垂直，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，说明理由．