2013届浙江省杭州市高二上学期期中考试数学

一、选择题

1. 难度：简单

观察下列几何体各自的三视图，其中有且仅有两个视图完全相同的是

                

①正方体         ②圆锥          ③正三棱柱        ④正四棱锥

     （A）①②     （B）②④    （C）①③     （D）①④

2. 难度：简单

如右图所示的直观图，其表示的平面图形是

     （A）正三角形    （B）锐角三角形

     （C）钝角三角形  （D）直角三角形

3. 难度：简单

已知a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，

且a⊥α，b⊥β，则下列命题中为假命题的是

（A）若a∥b，则α∥β

（B）若α⊥β，则a⊥b

（C）若a，b相交，则α，β相交

（D）若α，β相交，则a，b相交

4. 难度：简单

如右图所示，直线的斜率分别为，则

（A）   （B）

（C）   （D）

5. 难度：简单

已知正方体的棱长为1，则该正方体外接球的体积为

（A）     （B）        （C）        （D）

6. 难度：简单

直线被圆所截得的弦长等于，则的值为

（A）-1或-3          （B）     （C）1或3         （D）

7. 难度：简单

若直线与直线互相垂直，则a的值为

（A）       （B）             （C）        （D）1

8. 难度：简单

已知点A(3，)，O是坐标原点，点P(x，y)的坐标满足，设z为

上的投影，则z的取值范围是

（A）[－3,3]                    （B）[－，]

（C）[－，3]                 （D）[－3，]

9. 难度：简单

与圆相切，并在轴、轴上的截距相等的直线共有

（A）6条        （B）5条         （C）4条        （D）3条

10. 难度：简单

如图，在透明塑料制成的长方体ABCD－A₁B₁C₁D₁容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：

①水的部分始终呈棱柱状；

②水面四边形EFGH的面积不改变；

③棱A₁D₁始终与水面EFGH平行；

④当E∈AA₁时，AE＋BF是定值．

其中正确说法是

（A）①②③      （B）①②④   （C）②③④  （D）①③④

二、填空题

11. 难度：简单

圆:和：的位置关系是_____________ ．

12. 难度：简单

已知直线x=2和直线y=2x与x轴围成的三角形，则该三角形的外接圆方程为_________________.

13. 难度：简单

如图, 正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高为3cm，对角线A₁C的长为cm，则此四棱柱的侧面积为____________.

14. 难度：简单

经过点且到原点的距离等于1的直线方程是____________.

15. 难度：简单

若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是_______________．

16. 难度：简单

定义：平面内横坐标为整数的点称为“左整点”．过函数y＝图象上任意两个“左整点”作直线，则倾斜角大于45°的直线条数为___________．

17. 难度：简单

如图，假设平面，⊥，⊥，垂足分别是B、D，如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF,现有下面4个条件：

①⊥；

②与所成的角相等；

③与在内的射影在同一条直线上；

④∥．

其中能成为增加条件的是_____________．（把你认为正确的条件的序号都填上）

三、解答题

18. 难度：简单

（本小题满分12分）分别求满足下列条件的直线方程.

（Ⅰ）过点，且平行于:的直线；

（Ⅱ）与:垂直，且与点距离为的直线.

19. 难度：简单

（本小题满分9分）如图，圆锥中，为底面圆的两条直径，，且⊥，， 为的中点.

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）求圆锥的表面积；

（Ⅲ）求异面直线与所成角的正切值.

20. 难度：简单

（本小题满分9分）已知圆C：内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点.

（Ⅰ）当l经过圆心C时，求直线l的方程；

（Ⅱ）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；

（Ⅲ）当直线l的倾斜角为45º时，求弦AB的长.

21. 难度：简单

（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC—A₁B₁C₁ 中，已知AC ＝BC = AA₁=a，

∠ACB ＝90°，D 是A₁B₁ 中点．

（Ⅰ）求证：C₁D ⊥平面A₁B₁BA ；                     

（Ⅱ）请问, 当点F 在BB₁ 上什么位置时，会使得AB₁ ⊥平面C₁DF ？并证明你的结论．

22. 难度：简单

（本小题满分10分）如图，在四棱锥S—ABCD中，侧棱SA＝SB＝SC＝SD，底面ABCD是菱形，AC与BD交于O点．

(Ⅰ)求证：AC⊥平面SBD；

(Ⅱ)若E为BC中点，点P在侧面△SCD内及其边界上运动，并保持PE⊥AC，试指出动点P的轨迹，并证明你的结论．

23. 难度：简单

（本小题满分10分）设圆满足：

(Ⅰ)截y轴所得弦长为2；

(Ⅱ)被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．

在满足条件(Ⅰ)、(Ⅱ)的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程.