2013届浙江省杭州市高二上学期期末考试理科数学试卷

一、选择题

1. 难度：简单

“且”是“”的                       （　　）

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件 

C. 充要条件   D.既不充分也不必要条件

2. 难度：简单

已知椭圆则　　　　　　　　（　）

A.与顶点相同              B.与长轴长相同

C.与短轴长相同　　　　　　D.与焦距相等

3. 难度：简单

某简单几何体的三视图如图所示，其正视图．侧视图．俯视图均为直角三角形，面积分别是1，2，4，则这个几何体的体积为  (     )

A．              B．          

C．4        D．8

4. 难度：简单

下列有关命题的说法正确的是                     （      ）

  A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”

  B．命题“若，则”的逆否命题为真命题

  C．命题“存在使得”的否定是：“对任意 均有”

    D． “”是“”的必要不充分条件

5. 难度：简单

已知空间三条直线若与异面，且与异面，则　　（　　）

     A．与异面　　　　　　　　　 B.与相交

　　 C．与平行　　　　　　　　　 D.与异面、相交、平行均有可能

6. 难度：简单

过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，则的外接圆方程是（    ）

    A．               B．

    C．           D．

7. 难度：中等

直三棱柱 (三条侧棱和底面均垂直的三棱柱叫做直三棱柱)中，若，，则异面直线与所成的角等于        （     ）

A．30°   B．45°    C．60°     D．90°

8. 难度：中等

已知双曲线的两条渐近线均和圆C:相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为（   ）

A.    B.    C.       D.

9. 难度：困难

如图有公共左顶点和公共左焦点F的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a₁和a₂，半焦距分别为c₁和c₂，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．则下列结论不正确的是 (　　)

A．a₁＋c₁>a₂＋c₂             B．a₁－c₁＝a₂－c₂

C．a₁c₂<a₂c₁                 D．a₁c₂>a₂c₁

10. 难度：困难

如图在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为                    (     )

      A．        B．       C．          D．

11. 难度：困难

已知向量，若，则_____

12. 难度：困难

若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝______

二、填空题

13. 难度：简单

从正方体的八个顶点中任意选择4个顶点，它们可能是如下几种几何体（或平面图形）的4个顶点，这些几何体（或平面图形）是___________（写出所有正确的结论的编号）

    ①矩形     ②不是矩形的平行四边形

    ③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体

④每个面都是等边三角形的四面体

14. 难度：简单

已知动圆圆心在抛物线y²＝4x上，且动圆恒与直线x＝－1相切，则此动圆必过定点___

15. 难度：中等

设是双曲线的两个焦点，在双曲线上。已知的三边长成等差数列，且，则该双曲线的离心率为       

16. 难度：中等

设圆C位于抛物线与直线所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C半径能取到的最大值为________

三、解答题

17. 难度：简单

在棱长为1的正方体中，分别是棱的中点．

（1）证明：平面；

（2）求三棱锥的体积．

18. 难度：简单

如图，已知四棱锥底面为菱形，平面，、分别是、的中点.

(1)证明：

(2)设AB=2， 若为线段上的动点，与平面所成的最大角的正切值为求二面角的余弦值.

19. 难度：中等

已知焦点在x轴的椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点  在直线（为长半轴，为半焦距）上.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求以OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；

（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值

20. 难度：困难

如图，椭圆的离心率为，轴被曲线 截得的线段长等于的长半轴长.

（Ⅰ）求，的方程；

（Ⅱ）设与轴的交点为M，过坐标原点O的直线与相交于点A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E.

（i）证明：；

(ii)记△MAB,△MDE的面积分别是.问：是否存在直线,使得=?请说明理由.