2013届重庆市高二上学期期中理科数学试卷

一、选择题

1. 难度：简单

用一个平面去截一个正四棱柱，截法不同，所得截面形状不一定相同，在各种截法中，边数最多的截面的形状为                                   （    ）

A．四边形       B．五边形       C．六边形       D．八边形

2. 难度：简单

若点A(x²+4，4－y，1＋2z)关于y轴的对称点是B(－4x，9，7－z)，则x，y，z的值依次为        （    ）

A．1，－4，9      B．2，－5，－8    C．2，5，8      D．－2，－5，8

3. 难度：简单

已知m、l是直线，α、β是平面，则下列命题正确的是（    ）

A．若l平行于α，则l平行于α内的所有直线

B．若mα，lβ，且m∥l，则α∥β

C．若mα，lβ，且m⊥l，则α⊥β        

D．若mβ，m⊥α，则α⊥β

4. 难度：简单

正三棱锥P—ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，PA=PB=PC=a，AB的中点M，一小蜜蜂沿锥体侧面由M爬到C点，最短路程是                             （    ）

A．      B．    C．  D．

5. 难度：简单

如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中

⑴BM与ED平行               ⑵CN与BE是异面直线

⑶CN与BM成60°         ⑷DM与BN垂直

以上四个命题中，正确命题的序号是（   ）

A.⑴⑵⑶            　B.⑵⑷

C.⑶⑷              　D.⑵⑶⑷

6. 难度：简单

已知直线l₁的方向向量a＝(2, 4，x)，直线l₂的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是(　　)

A．－3或1      B．3或－1       C．－3          D．1

7. 难度：中等

如图所示，在水平横梁上A、B两点处各挂长为50cm的细线AM、 BN、AB的长度为60cm，在MN处挂长为60cm的木条MN平行于横梁，木条中点为O，若木条绕O的铅垂线旋转60°，则木条比原来升高了（　　）

A．10cm　　 B．5cm　　  C．10cm　　  D．5cm

8. 难度：中等

有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是                     (　　)

A．(0，＋)                             B．(1,2)

C．(－，＋)                       D．(0,2)

9. 难度：困难

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积与体积分别为       （     ）

 

A．7＋，3                                B．8＋，3

C．7＋，                                D．8＋，

10. 难度：困难

如图，在正三棱锥P—ABC中，M、N分别是侧棱PB、PC的中点，若截面AMN⊥侧面PBC，则此三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值是                （     ）

A．          B．                C．           D．

二、填空题

11. 难度：简单

如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为，腰和上底均为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是________

12. 难度：简单

体积为8的一个正方体，其全面积与球O的表面积相等，则球O的体积等于________

13. 难度：中等

如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：

①；

②∠BAC＝60°；

③三棱锥D—ABC是正三棱锥；

④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直.

其中正确的是________(填上正确答案的序号)

14. 难度：中等

设A(1，2，－1)，B(0，3，1)，C(－2，1，2)是平行四边形的三个顶点，则此平行四边形的面积为                     

15. 难度：困难

如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点，现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足，设AK＝t，则t的取值范围是________．

三、解答题

16. 难度：简单

如图：一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个半径为x的内接圆柱。

(1)试用x表示圆柱的体积；

 (2).当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大值是多少。

17. 难度：简单

养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12M，高4M。养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐。现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4M（高不变）；二是高度增加4M(底面直径不变)。

(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；

(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；

(3)哪个方案更经济些,说明理由.

18. 难度：中等

已知正三棱柱ABC—A₁B₁C₁，底面边长AB=2，AB₁⊥BC₁，点O、O₁分别是边AC，A₁C₁的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.

⑴求正三棱柱的侧棱长.

⑵若M为BC₁的中点，试用基向量、、表示向量；

⑶求异面直线AB₁与BC所成角的余弦值．

19. 难度：中等

如图所示，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

(1)求证：AE⊥平面BCE；

(2)求证：AE∥平面BFD；

(3)求三棱锥C－BGF的体积．

20. 难度：困难

如图，已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的一点.

(1)求证：平面EBD⊥平面SAC；

(2)设SA＝4，AB＝2，求点A到平面SBD的距离；

21. 难度：困难

正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A—DC—B。

(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；

(2)求二面角E—DF—C的余弦值；

(3)在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？证明你的结论.