2011-2012年湖南省衡阳市高二第三次月考考试理科数学

一、选择题

1. 难度：简单

“a＞0”是“＞0”的

(A)充分不必要条件       （B）必要不充分条件

    （C）充要条件               （D）既不充分也不必要条件

2. 难度：简单

双曲线的实轴长是

（A）2             (B)        (C) 4          (D) 4

3. 难度：简单

若平面α，β的法向量分别为u＝(－2, 3，－5)，v＝(3，－1, 4)，则(　　)

A．α∥β                        B．α⊥β

C．α、β相交但不垂直            D．以上均不正确

4. 难度：简单

已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a、b、c三向量共面，则实数λ等于(　　)

A.                 B.          C.                  D.

5. 难度：简单

曲线在点（1，1）处的切线方程为（     ）

A.                    B.  

  C.                  D.

6. 难度：简单

如图，在棱长为2的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC₁、AD的中点．那么异面直线OE和FD₁所成角的余弦值为(　　)

7. 难度：简单

如图所示，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，棱长为a，M，N分别为A₁B和AC上的点，A₁M＝AN＝，则MN与平面BB₁C₁C的位置关系是(　　)

A．相交         B．平行          C．垂直         D．不能确定

8. 难度：简单

已知A、B、M三点不共线，对于平面ABM外任一点O，若，则点P与A、B、M(　　)

A．共面                                 B．共线

C．不共面                               D．不确定

9. 难度：简单

二面角α－l－β为60°，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝a，BD＝2a，则CD的长为(　　)

A．2a       B.     C．a          D.

10. 难度：简单

已知双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(    )

A.( 1,2)          B. (1,2)           C.           D.(2,+∞)

二、填空题

11. 难度：简单

函数y=sin²x-con²x的导数为

12. 难度：简单

ABCD­A₁B₁C₁D₁为平行六面体，设

E、F分别是AD₁、BD的中点，则＝            

（用向量a b c表示）

三、选择题

13. 难度：简单

曲线 y=x²－1与 y=3－x³在x=x₀处的切线互相垂直，则x₀=＿＿

四、填空题

14. 难度：简单

函数f(x)=xlnx 的单调递增区间是        

15. 难度：简单

已知抛物线的准线为，过且斜率为的

直线与相交于点，与的一个交点为．若，则       

五、解答题

16. 难度：简单

（8分）  若f（x）=ax³+bx²，且f（x）在点P（－1,-2）处的切线恰好与直线3x－y=0垂直。（1）求a,b的值；（2）若f（x）在区间[0,m]上单调，求m的取值范围。

17. 难度：简单

(8分)在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB和CD成60°角(见下图)．求B、D间的距离

 

18. 难度：简单

（ 9分）  如图，过椭圆的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，若点M在x轴上，且使得MF为△AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”．求椭圆的“左特征点”M的坐标；

19. 难度：简单

（ 10分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2,AB＝AD＝。

1）求证：AO平面BCD；

2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；

3）求点E到平面ACD的距离。

 

20. 难度：简单

（ 10分）已知是函数的极值点．当时，

求函数的单调区间；

21. 难度：简单

（ 10分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．

（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；

（II）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；

若不存在，请说明理由．