2013届度辽宁省高二12月月考数学试题

一、选择题

1. 难度：简单

“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的(  )

A.充分不必要条件   B.必要不充分条件  C.充要条件   D.不充分不必要条件

2. 难度：简单

抛物线y²＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是(  )

A. 　　　　　B.              C．|a|            D．－

3. 难度：简单

抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积等于( )

 A.      B.      C.2      D.

4. 难度：简单

P是椭圆上任意一点，F₁、F₂是焦点，那么∠F₁PF₂的最大值是（    ）

A．60⁰              B．30⁰              C．120⁰             D．90⁰

5. 难度：简单

已知F₁,F₂是椭圆的两个焦点，过F₁且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点，若△ABF₂是正三角形，则这个椭圆的离心率是（　  ）

 A．        B．         C．         D．

6. 难度：简单

已知a、b、c分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距，且方程无实根，则双曲线离心率的取值范围是（  ）

 A.     B.          C.           D.

7. 难度：中等

设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y＋b＝0和曲线bx²＋ay²＝ab的图形是(    )

                           

A                    B                   C                  D

8. 难度：中等

若直线mx- ny = 4与⊙O: x²+y²= 4没有交点，则过点P(m,n)的直线与椭圆 的交点个数是　（   ）

A．至多为1      B．2    C．1            D．0

9. 难度：困难

若点（x，y）在椭圆上，则的最小值为（   ）

A.1          B.－1             C.－               D.以上都不对

10. 难度：困难

如图，为抛物线的焦点，A、B、C在抛物线上，若，则（    ）

 A.  6               B.  4            C.  3          D.2

11. 难度：简单

椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点、是它的焦点，长轴长为，焦距为，静放在点的小球（小球的半径不计），从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是（　　）

A．  B．  C．  D．以上答案均有可能

12. 难度：困难

设经过定点的直线与抛物线相交于两点，若 为常数，则的值为（  ）

A．      B。      C。      D。

二、填空题

13. 难度：简单

若抛物线的焦点与双曲线的左焦点重合,则的值     

14. 难度：中等

与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的标准方程为            

15. 难度：中等

过双曲线x²－的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，且，则这样的直线有___________条

16. 难度：困难

P为双曲线右支上一点，M、N分别是圆上的点，则|PM|-|PN|的最大值为          

三、解答题

17. 难度：简单

在直角坐标系中，点P是曲线C上任意一点，点P到两点，的距离之和等于4，直线与C交于A，B两点．

（Ⅰ）写出C的方程；

（Ⅱ）若，求k的值。

18. 难度：简单

如图，A，B，C三个观察哨，A在B的正南，两地相距6km，C在B的北偏东60°，两地相距4km.在某一时刻，A观察哨发现某种信号，并知道该信号的传播速度为1km/s；4秒后B,C两个观察哨同时发现这种信号。在以过A,B两点的直线为y轴，以线段AB的垂直平分线为x轴的平面直角坐标系中，指出发了这种信号的地点P的坐标。

19. 难度：中等

已知的顶点A、B在椭圆,点在直线上，且

（1）当AB边通过坐标原点O时，求的面积；

（2）当，且斜边AC的长最大时，

求AB所在直线的方程。

20. 难度：中等

抛物线（p>0）的准线与x轴交于M点，过点M作直线l交抛物线于A、B两点.

（1）若线段AB的垂直平分线交x轴于N（x₀，0），比较x₀与3p大小；

（2）若直线l的斜率依次为p，p²，p³，…，线段AB的垂直平分线与x轴的交点依次为N₁，N₂，N₃，…，求++…+的值.

21. 难度：困难

已知抛物线和点，过点P的直线与抛物线交与两点，设点P刚好为弦的中点。

（1）求直线的方程

（2）若过线段上任一（不含端点）作倾斜角为的直线交抛物线于，类比圆中的相交弦定理，给出你的猜想，若成立，给出证明；若不成立，请说明理由。

（3）过P作斜率分别为的直线，交抛物线于，交抛物线于，是否存在使得（2）中的猜想成立，若存在，给出满足的条件。若不存在，请说明理由。

22. 难度：困难

已知:如右图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB＝DC,过点D作AC的平行线DE,交BA的延长线于点E．求证：(1)△ABC≌△DCB   (2)DE·DC＝AE·BD．