2013届度黑龙江龙东地区第一学期高二期末理科数学试卷

一、选择题

1. 难度：简单

对于实数，“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件               B．必要不充分条件  

C．充要条件                     D．既不充分也不必要条件

2. 难度：简单

命题：“”的否定为         （    ）

    A．                B．

    C．    D．

3. 难度：简单

一个单位有职工800人，期中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是

（A）12,24,15,9      （B）9,12,12,7       （C）8,15,12,5       （D）8,16,10,6

4. 难度：简单

在区间 [-1，2]上随机取一个数x，则的概率为(   )

A．           B．             C．           D．

5. 难度：简单

一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率是

A.          B.          C.            D.

6. 难度：简单

执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是

 （A）120    （B） 720   （C） 1440  （D） 5040

7. 难度：中等

某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm。

A．20           B．40             C．30           D．25

8. 难度：中等

若向量，且与的夹角余弦为，则等于（   ）

A．           B．          C．或          D．或

9. 难度：困难

设双曲线的渐近线方程为，则的值为

    A．4           B．3        C．2        D．1

10. 难度：困难

椭圆的两个焦点为、，过作垂直于轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则（   ）

A．          B．           C．              D．4

11. 难度：困难

如图，A₁B₁C₁—ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D₁、F₁分别是A₁B₁、A₁C₁的中点，若BC=CA=CC₁，则BD₁与AF₁所成角的余弦值是（    ）

    A．          B．

    C．    D．

12. 难度：困难

若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为  

   A.2            B.3              C.6                 D.8

二、填空题

13. 难度：简单

已知点（2，3）在双曲线C：上，C的焦距为4，则它的离心率为_______

14. 难度：简单

设有两个命题，p：关于x的不等式（a>0，且a≠1）的解集是{x|x<0}；q：函数的定义域为R。如果为真命题，为假命题，则实数a的取值范围___________。 

15. 难度：中等

已知F为抛物线C：的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A、B两点.设.则与的比值等于                     .

16. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则

三、解答题

17. 难度：简单

在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．

（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；

（Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．

18. 难度：简单

如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.

（Ⅰ）求证：PC⊥AB；

（Ⅱ）求直线BC与平面APB所成角的正弦值

（Ⅲ）求点C到平面APB的距离.

19. 难度：中等

已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点。

（Ⅰ）证明：面面；

（Ⅱ）求与所成的角的余弦值；

（Ⅲ）求面与面所成二面角的余弦值。

20. 难度：困难

已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，（1）求抛物线的方程；（2）若抛物线与直线无公共点，试在抛物线上求一点，使这点到直线的距离最短。

21. 难度：困难

设双曲线的两个焦点分别为、，离心率为2．

（I）求双曲线的渐近线方程；

（II）过点能否作出直线，使与双曲线交于、两点，且，若存在，求出直线方程，若不存在，说明理由．

22. 难度：困难

如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左右焦点F₁、F₂为顶点的三角形的周长为。一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的焦点分别为A、B和C、D。

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程

（Ⅱ）设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂，证明：k₁·k₂=1

（Ⅲ）是否存在常数，使得|AB|+|CD|=|AB|·|CD|恒成立？若存在，求的值，若不存在，请说明理由。