2010-2011学年北京市高三上学期期中考试数学文卷

一、选择题

1. 难度：中等

设集合，则满足的集合B的个数是(     )

 1            3           4          8

2. 难度：中等

给出下列命题 ：①；②； ③；   

④“”的充要条件是“,或”,

其中正确命题的个数是 （    ）

 0             1          2          3

3. 难度：中等

设非零向量满足，则与的夹角为（     ）

 30°          60°       90°       120°

4. 难度：中等

已知等差数列的前20项的和为100，那么的最大值为(     )

 25            50         100       不存在

5. 难度：中等

将函数的图象向左平移个单位长度，向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是(     )

         

6. 难度：中等

若过定点且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是(    )

           

7. 难度：中等

函数是偶函数，且在区间上单调递减，则与的大小关系为（     ）

            

             不能确定

8. 难度：中等

一根竹竿长2米，竖直放在广场的水平地面上，在时刻测得它的影长为4米，在时刻的影长为1米．这个广场上有一个球形物体，它在地面上的影子是椭圆，问在、这两个时刻该球形物体在地面上的两个椭圆影子的离心率之比为（    ）

 1：1         ：1      ：1       2：1

二、填空题

9. 难度：中等

与垂直的单位向量为______________

10. 难度：中等

如图是一个几何体的三视图，则该几何体

的体积为            

11. 难度：中等

已知函数,当时,都有成立,则实数的取值范围为                  

12. 难度：中等

已知当时，，且恒成立，则当时，＝             

13. 难度：中等

已知点在曲线上，如果该曲线在点处切线的斜率为，那么             ，此时函数，的值域为          

14. 难度：中等

定义运算符号：“”，这个符号表示若干个数相乘，例如：可将1×2×3×…×n记作，，其中为数列中的第项.

①若，则=  　  ； ②若         　 　

三、解答题

15. 难度：中等

在中，、、为角、、的对边，已知、为锐角，且，

（1）求的值;       （2）若，求、、的值

16. 难度：中等

设关于的二次函数

    （I）设集合P={1，2， 4}和Q={-1，1，2}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为函数中和的值，求函数有且只有一个零点的概率；

（II）设点（，）是随机取自平面区域内的点，求函数上是减函数的概率.

17. 难度：中等

如图, 在直三棱柱中，，,，点是 的中点，

（1）       求证：；    

（2）       求证：．

 

18. 难度：中等

已知函数.

（Ⅰ）当时，求的极值;

（Ⅱ）当时，求的单调区间.

19. 难度：中等

已知的顶点在椭圆上，在直线上，且．

（Ⅰ）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；

（Ⅱ）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．

20. 难度：中等

已知数列的前项和和通项满足（是常数且）。

(Ⅰ)求数列的通项公式；

(Ⅱ) 当时，试证明；

 (Ⅲ)设函数，，是否存在正整数，使对都成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.