2010-2011学年北京市石景山区高三统一考试数学理卷

一、选择题

1. 难度：中等

设，则                （    ）

       A．MN               B．NM                C．     D．

2. 难度：中等

若是虚数单位，则乘积的值是             （    ）

       A．-15                        B．3                            C．-3                   D．5

3. 难度：中等

已知等差数列的前项和为，若           （    ）

       A．72                          B．68                          C．54                   D．90

4. 难度：中等

一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示（单位：cm），则这个几何体的体积是

       A．                    B．                   C．2              D．

5. 难度：中等

已知O是所在平面内一点，D为BC边中点，且，那么

       A．       B．         C．           D．

6. 难度：中等

某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，则不同的停放方法的种数为                            （    ）

       A．16                          B．18                          C．24                   D．32

7. 难度：中等

已知椭圆的焦点为，在长轴A₁A₂上任取一点M，过M作垂直于A₁A₂的直线交椭圆于点P，则使得的点M的概率为                              （    ）

       A．                      B．                       C．             D．

8. 难度：中等

定义在R上的函数满足的导函数，已知的图象如图所示，若两个正数满足的取值范围是（  ）

       A．     B．  C．     D．

二、填空题

9. 难度：中等

在中，角A，B，C所对应的边分别为，则角A的大小为     ．

10. 难度：中等

阅读如图所示的程序框图，运行该程序后输出的的值是        ．

11. 难度：中等

在平面直角坐标系中，已知圆（为参数）和直线（为参数），则圆C的普通方程为        ，直线与圆C的位置关系是      。

12. 难度：中等

如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线，过A作直线的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为         。

13. 难度：中等

已知两定点，若直线上存在点P，使得，则该直线为“A型直线”。给出下列直线，其中是“A型直线”的是        。

       ①                 ②                      ③       ④

14. 难度：中等

函数的图象在点处的切线与轴交点的横坐标为，             ，数列的通项公式为         ．

三、解答题

15. 难度：中等

（本小题满分13分）

在中，角A，B，C所对应的边分别为

   （Ⅰ）求角C的大小；

   （Ⅱ）求的最大值．

16. 难度：中等

（本小题满分13分）

为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽样100名志原者的年龄情况如下表所示。

（Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数；

（Ⅱ）在抽出的100名志原者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望。

17. 难度：中等

（本小题满分14分）

  在棱长为2的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为A₁D₁和CC₁的中点．

（Ⅰ）求证：EF//平面ACD₁；

（Ⅱ）求异面直线EF与AB所成的角的余弦值；

（Ⅲ）在棱BB₁上是否存在一点P，使得二面角P—AC—B的大小为30°？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．

18. 难度：中等

（本小题满分13分）

    已知函数

（Ⅰ）当在区间上的最大值和最小值；

（Ⅱ）若在区间上，函数的图象恒在直线下方，求的取值范围．

19. 难度：中等

（本小题满分13分）

  已知椭圆经过点，离心率为，动点

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）求以OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；

（Ⅲ）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，证明线段ON的长为定值，并求出这个定值．

20. 难度：中等

（本小题满分14分）

       已知定义在R上的函数和数列，当时，，其中均为非零常数．

   （Ⅰ）若数列是等差数列，求的值；

   （Ⅱ）令，求数列的通项公式；

   （Ⅲ）若数列为等比数列，求函数的解析式．