2010-2011学年北京市高三起点考试理科数学卷

一、选择题

1. 难度：简单

已知复数，其中是虚数单位，则复数的实部与虚部之和为（    ）

    A．0              B．             C．1              D．2

2. 难度：简单

已知集合等于                       （    ）

    A．{-1，0，1}     B．{1}            C．{-1，1}        D．{0，1}

3. 难度：简单

已知数列是等比数列，且的公比为 （    ）

    A．2              B．           C．-2             D．

4. 难度：简单

设是两个简单命题，若的充分不必要条件，则            （    ）

    A．充分不必要条件                   B．必要不充分条件

    C．充要条件                         D．既不充分也不必要条件

5. 难度：简单

统计某校1000名学生水平测试成绩，得到样频率分布直方图如图所示，若满分为100分，规定不低于60分为及格，则及格率是                                （    ）

    A．20%            B．25%

    C．6%             D．80%

                  

6. 难度：简单

设是两条直线，是两个平面，则下列命题中错误的是                 （    ）

    A．若          B．若

    C．若           D．若

7. 难度：简单

在同，点P在BC上，且，点Q是AC的中点，若         （    ）

    A．（-6，21）      B．（-2，7）       C．（6，-21）      D．（2，-7）

8. 难度：简单

某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是  （    ）

    A．   

    B．

    C． 

    D．

                       

9. 难度：简单

函数的最小正周期为，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象                         （    ）

    A．关于点对称                B．关于直线对称

    C．关于点对称                D．关于直线对称

10. 难度：简单

已知双曲线的右顶点为E，过双曲线的左焦点且垂直于轴的直线与该双曲线相交A、B两点，若，则该双曲线的离心率是（    ）

    A．        B．2              C．     D．不存在

11. 难度：简单

把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，则方程组只有一个解的概率为                        （    ）

    A．                              B．

    C．                              D．

12. 难度：简单

给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作。在此基础上给出下列关于函数的四个命题：

    ①；②；③；④的定义域是R，值域是；则其中真命题的序号是                                              （    ）

    A．①②           B．①③           C．②④           D．③④

二、填空题

13. 难度：简单

在中，三边所对的角分别为A，B，C，若，则角C的大小为          。

14. 难度：简单

展开式按的升幂排列，则第3项的系数为          。

15. 难度：简单

如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何体的表面积是         。

                         

16. 难度：简单

从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为        。

三、解答题

17. 难度：简单

（本小题满分10分）

    已知函数为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距离为

   （1）求的解析式；

   （2）若的值。

18. 难度：简单

（本小题满分12分）

   某品牌的汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下表所示：已知分3期付款的频率为0.2，4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元，分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元，用表示经销一辆汽车的利润。

付款方工	分1期	分2期	分3期	分4期	分5期
频数	40	20		10

   （1）求上表中的值；

   （2）若以频率作为概率，求事件A：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有1位采用3期付款”的频率P（A）；

   （3）求的分布列及数学期望E。

19. 难度：简单

（本小题满分12分）

   如右图，正方形ABCD所在平面与圆O所在平面相交于CD，线段CD为圆O的弦，AE垂直于圆O所在平面，垂足E是圆O上异于C、D的点，AE=3，圆O的直径为9。

   （1）求证：平面ABCD平在ADE；

   （2）求二面角D—BC—E的平面角的正切值；

                                

20. 难度：简单

（本题满分12分）

    已知函数的图象经过点A（1，1）、B（2，3）及C（），为数列的前项和。

   （1）求及；

   （2）若数列满足，求数列的前项和。

21. 难度：简单

（本小题满分12分）

    已知椭圆的左、右两个焦点分别为F₁、F₂，离心率为，且抛物线与椭圆C₁有公共焦点F₂（1，0）。

   （1）求椭圆和抛物线的方程；

   （2）设A、B为椭圆上的两个动点，，过原点O作直线AB的垂线OD，垂足为D，求点D为轨迹方程。

22. 难度：简单

（本小题满分12分）

   已知函数是定义在上的奇函数，当，（其中是自然对数的底，）

   （1）求的解析式；

   （2）设，求证：当时，

   （3）是否存在实数，使得当时，的最小值是3？如果存在，求出实数的值；如果不存在，请说明理由。