2010-2011学年北京市西城区高三一模试卷数学（理科）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合，，则等于

（A）

（B）

（C）

（D）

2. 难度：中等

下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是

（A）

（B）

（C）

（D）

3. 难度：中等

设，，，则

（A）

（B）

（C）

（D）

4. 难度：中等

设向量，，且，则等于

（A）

（B）

（C）

（D）

5. 难度：中等

阅读右侧程序框图，为使输出的数据为，

则①处应填的数字为

（A）

（B）

（C）

（D）

6. 难度：中等

已知函数①，②，则下列结论正确的是

（A）两个函数的图象均关于点成中心对称

（B）两个函数的图象均关于直线成中心对称

（C）两个函数在区间上都是单调递增函数

（D）两个函数的最小正周期相同

7. 难度：中等

已知曲线及两点和，其中.过，分别作轴的垂线，交曲线于，两点，直线与轴交于点，那么

（A）成等差数列

（B）成等比数列

（C）成等差数列

（D）成等比数列

8. 难度：中等

如图，四面体的三条棱两两垂直，,，为四面体外一点.给出下列命题.

①不存在点,使四面体有三个面是直角三角形

②不存在点,使四面体是正三棱锥

③存在点,使与垂直并且相等

④存在无数个点,使点在四面体的外接球面上

其中真命题的序号是

（A）①②

（B）②③

（C）③

（D）③④

二、填空题

9. 难度：中等

在复平面内，复数对应的点到原点的距离为_____

10. 难度：中等

如图，从圆外一点引圆的切线和割线，已知，，圆心到的距离为，则圆的半径为_____

11. 难度：中等

已知椭圆经过点，则______，离心率______.

12. 难度：中等

一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为_____.

13. 难度：中等

某展室有9个展台，现有件展品需要展出，要求每件展品独自占用个展台，并且件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；如果进一步要求件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有____种

14. 难度：中等

已知数列的各项均为正整数，对于，有

当时，______；

若存在，当且为奇数时，恒为常数，则的值为______.

三、解答题

15. 难度：中等

设中的内角，，所对的边长分别为，，，且,.

（Ⅰ）当时，求角的度数；（Ⅱ）求面积的最大值.                

16. 难度：中等

甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为.且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为.

（Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率；

（Ⅱ）求的值；

（Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为，求的分布列和数学期望.

17. 难度：中等

如图, 是边长为的正方形，平面，，，与平面所成角为.

(Ⅰ)求证：平面；

(Ⅱ)求二面角的余弦值；

（Ⅲ）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论

18. 难度：中等

已知函数，其中.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若直线是曲线的切线，求实数的值；

（Ⅲ）设，求在区间上的最大值.

（其中为自然对数的底数）

19. 难度：中等

已知抛物线的焦点为，过的直线交轴正半轴于点，交抛物线于两点，其中点在第一象限.

（Ⅰ）求证：以线段为直径的圆与轴相切；

（Ⅱ）若,,，求的取值范围.

20. 难度：中等

定义为有限项数列的波动强度.

（Ⅰ）当时，求；

（Ⅱ）若数列满足，求证：；

（Ⅲ）设各项均不相等，且交换数列中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列一定是递增数列或递减数列