2010-2011学年江苏省高三预测卷2数学

一、填空题

1. 难度：中等

命题“若一个数是负数，则它的平方数正数”的逆命题是                    ．

2. 难度：中等

设全集U＝{1，3，5，7}，集合M＝{1，a－5}，MU，＝{5，7}，则实数a＝       ．

3. 难度：中等

某工厂生产了某种产品3000件，它们来自甲、乙、丙三条生产线．为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样．若从甲、乙、丙三条生产线抽取的个数分别为a，b，c，且a，b，c构成等差数列，则乙生产线生产了              件产品．

4. 难度：中等

若＝＋是偶函数，则实数a＝       ．

5. 难度：中等

从分别写有0，1，2，3，4五张卡片中取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片．两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率是       ．

6. 难度：中等

如图，函数y＝的图象在点P处的切线方程为y＝－x＋5，则－＝   ．

7. 难度：中等

定义某种新运算：S＝ab的运算原理如图所示，则54－36＝      ．

8. 难度：中等

如图，四边形ABCD中，若AC＝，BD＝1，则＝      ．

9. 难度：中等

有三个球和一个正方体，第一个球与正方体的各个面相切，第二个球与正方体的各条棱相切，第三个球过正方体的各个顶点，则这三个球的表面积之比为          ．

10. 难度：中等

．若A，B，C为△ABC的三个内角，则＋的最小值为          ．

11. 难度：中等

双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别是，，过作倾斜角的直线交双曲线右支于M点，若垂直于x轴，则双曲线的离心率e＝      ．

12. 难度：中等

在平面直角坐标系中，点集A＝{( x，y) |＋≤1}，B＝{( x，y) | x≤4，y≥0，3x－4y≥0}，则点集Q＝{( x，y) |x＝＋，y＝＋，(，)∈A，(，)∈B}所表示的区域的面积为      ．

13. 难度：中等

已知函数＝＋＋3x＋b的图象与x轴有三个不同交点，且交点的横坐标分别可作为抛物线、双曲线、椭圆的离心率，则实数a的取值范围是      ．

14. 难度：中等

定义函数＝，其中表示不超过x的最大整数，

如：＝1，＝－2．当x∈，(n∈)时，设函数的值域为A，

记集合A中的元素个数为，则式子的最小值为      ．

二、解答题

15. 难度：中等

本小题满分14分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列．

（1）若＝，b＝，求a＋c的值；

（2）求的取值范围．

16. 难度：中等

（本小题满分14分）

如图，四面体ABCD中，O，E分别为BD，BC的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝．

（1）求证：AO⊥平面BCD；

（2）求点E到平面ACD的距离．

17. 难度：中等

（本小题满分14分）

如图，某市拟在道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段ABC，该曲线段为函数y＝(A＞0，＞0，＜＜)，x∈[－3，0]的图象，且图象的最高点为B(－1，)；赛道的中间部分为千米的水平跑到CD；赛道的后一部分为以O圆心的一段圆弧．

 （1）求，的值和∠DOE的值；

（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个“矩形草坪”，如图所示，矩形的一边在道路AE上，一个顶点在扇形半径OD上．记∠POE＝，求当“矩形草坪”的面积最大时的值．

18. 难度：中等

（本小题满分16分）

在直角坐标系xOy中，直线l与x轴正半轴和y轴正半轴分别相交于A，B两点，△AOB的内切圆为圆M．

（1）如果圆M的半径为1，l与圆M切于点C (，1＋)，求直线l的方程；

（2）如果圆M的半径为1，证明：当△AOB的面积、周长最小时，此时△AOB为同一个三角形；

（3）如果l的方程为x＋y－2－＝0，P为圆M上任一点，求＋＋的最值．

19. 难度：中等

（本小题满分16分）

已知数列满足＝0，＝2，

且对任意m，n∈都有＋＝＋

（1）求，；

（2）设＝－( n∈)，证明：是等差数列；

（3）设＝(－)( q≠0，n∈)，求数列的前n项的和．

20. 难度：中等

（本小题满分16分）

对于函数y＝，x∈(0，，如果a，b，c是一个三角形的三边长，那么，，也是一个三角形的三边长， 则称函数为“保三角形函数”．

对于函数y＝，x∈，，如果a，b，c是任意的非负实数，都有，，是一个三角形的三边长，则称函数为“恒三角形函数”．

（1）判断三个函数“＝x，＝，＝(定义域均为x∈(0，)”中，那些是“保三角形函数”？请说明理由；

（2）若函数＝，x∈，是“恒三角形函数”，试求实数k的取值范围；

（3）如果函数是定义在(0，上的周期函数，且值域也为(0，，试证明：既不是“恒三角形函数”，也不是“保三角形函数”．