2010-2011学年江苏省南通市高三第二次模拟考试数学试题

一、填空题

1. 难度：中等

曲线在点（1,－1）处的切线方程是   ▲  

2. 难度：中等

若（R，i为虚数单位），则ab=   ▲  

3. 难度：中等

命题“若实数a满足，则”的否命题是   ▲   命题（填“真”、“假”之一）

4. 难度：中等

把一个体积为27cm³的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1 cm³的27个小正方体，现

从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为   ▲ 

5. 难度：中等

某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例

分别为30％、50％、10％和10％，则全班学生的平均分为   ▲   分

6. 难度：中等

设和都是元素为向量的集

合，则M∩N=   ▲  

7. 难度：中等

在如图所示的算法流程图中，若输入m = 4，n = 3，则输出的

a=   ▲  

8. 难度：中等

设等差数列的公差为正数，若

则   ▲  

9. 难度：中等

设是空间两个不同的平面，m，n是平面及外的两条不同直线．从“①m⊥n；②⊥；③n⊥；④m⊥”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：    ▲   （用代号表示）

10. 难度：中等

定义在R上的函数满足：，当时，．下列四个

不等关系：；；；．

其中正确的个数是   ▲

11. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知A、B分别是双曲线的左、右焦点，△ABC 的顶点

C在双曲线的右支上，则的值是   ▲ 

12. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，设点、，定义：． 已知点，点M为直线上的动点，则使取最小值时点M的坐标是  ▲ 

13. 难度：中等

．若实数x，y，z，t满足，则的最小值为   ▲  

14. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，设A、B、C是圆x²+y²=1上相异三点，若存在正实数，使得

=，则的取值范围是   ▲ 

15. 难度：中等

如图，平面平面，点E、F、O分别为线段PA、PB、AC的中点，点G是线段CO

的中点，，．求证：

（1）平面；

（2）∥平面．

16. 难度：中等

已知函数．

（1）设，且，求的值；

（2）在△ABC中，AB=1，，且△ABC的面积为，求sinA+sinB的值．

二、解答题

17. 难度：中等

在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆E：的左、右顶点分别为、，

上、下顶点分别为、．设直线的倾斜角的正弦值为，圆与以线段为直径的圆

关于直线对称．

（1）求椭圆E的离心率；

（2）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；

（3）若圆的面积为，求圆的方程

18. 难度：中等

如图，实线部分的月牙形公园是由圆P上的一段优弧和圆Q上的一段劣弧围成，圆P和圆Q的

半径都是2km，点P在圆Q上，现要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地．

（1）如图甲，要建的活动场地为△RST，求场地的最大面积；

（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形ABCD，求场地的最大面积．

19. 难度：中等

设定义在区间[x₁， x₂]上的函数y=f(x)的图象为C，M是C上的任意一点，O为坐标原点，设向

量=，，=(x，y)，当实数λ满足x=λ x₁+(1－λ) x₂时，记向

量=λ+(1－λ)．定义“函数y=f(x)在区间[x₁，x₂]上可在标准k下线性近似”是指

“k恒成立”，其中k是一个确定的正数．

（1）设函数 f(x)=x²在区间[0，1]上可在标准k下线性近似，求k的取值范围；

（2）求证：函数在区间上可在标准k=下线性近似．

（参考数据：e=2.718，ln(e－1)=0.541）

20. 难度：中等

已知数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）对任意给定的，是否存在（）使成等差数列？若存

在，用分别表示和（只要写出一组）；若不存在，请说明理由；

（3）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为．