2010-2011学年江苏省高三第二次模拟考试数学试卷

一、填空题

1. 难度：中等

已知全集，，，那么_______

2. 难度：中等

如果复数 （其中为虚数单位，）的实部和虚部互为相反数，那么等于______．

3. 难度：中等

椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是         

4. 难度：中等

已知cos(+)=,且,则sin=          ．

5. 难度：中等

已知样本方差由求得，则_________________

6. 难度：中等

将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为，则方程有实根的概率为          ．

7. 难度：中等

已知直线m、n，平面、，且m⊥，n，

给出下列命题：

①、若∥，则m⊥n；

②、若m⊥n，则∥；

③、若⊥，则m∥n；

④、若m∥n，则⊥．

其中正确的命题的序号是           

8. 难度：中等

如图所示的流程图，输出的结果为           

9. 难度：中等

函数的单调递增区间是___________________

10. 难度：中等

设双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点为F，O为坐标原点．若以F为圆心，FO为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点A（不同于O点），则△OAF的面积为                            

11. 难度：中等

直线与圆相交于A、B两点，若，则实数t的范围        

12. 难度：中等

已知实数a，b，c满足a≤b≤c，且，abc＝1，不等式≥

恒成立．则实数k的最大值为          

13. 难度：中等

已知是边延长线上一点，记. 若关于的方程

在上恰有两解，则实数的取值范围是       

14. 难度：中等

已知等差数列首项为，公差为，等比数列首项为，公比为，其中都是大于1的正整数，且，对于任意的，总存在，使得成立，则          

二、解答题

15. 难度：中等

已知向量a＝（3sinα，cosα），b＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，α∈（），且a⊥b．

      （1）、求tanα的值；

（2）、求cos()的值．

16. 难度：中等

如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点．  （1）求证：  （1）、//平面；

（2）、求证：；

（3）、求三棱锥的体积．

17. 难度：中等

为了降低能源损耗，最近上海对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

（1）、求的值及的表达式；

（2）、隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．

18. 难度：中等

给定椭圆C：，称圆心在原点O、半径为的圆是椭圆C的“伴椭圆” ，若椭圆C的一个焦点为,其短轴上的一个端点到距离为；

（1）、求椭圆C的方程及其“伴椭圆”的方程；

（2）、若倾斜角为的直线与椭圆C只有一个公共点，且与椭圆C的“伴椭圆”相交于M、N两点，求弦MN的长。

（3）、若点P是椭圆C“伴椭圆”上一动点，过点P作直线，使得与椭圆C都只有一个公共点，求证：。

19. 难度：中等

已知数列首项，公比为的等比数列，又，常数，数列满足，

（1）、求证为等差数列；

（2）、若是递减数列，求的最小值；（参考数据：）

（3）、是否存在正整数，使重新排列后成等比数列，若存在，求的值，若不存在，说明理由。

20. 难度：中等

已知函数

（1）、若函数在处的切线方程为，求的值；

（2）、若函数在为增函数，求的取值范围；

（3）、讨论方程解的个数，并说明理由。

21. 难度：中等

已知a、b∈R，若M＝\o(\s\up7(－1b所对应的变换T_M把直线l：3x－2y＝1变换为自身，试求实数a、b的值．

22. 难度：中等

已知曲线C的参数方程为(α∈R，α为参数)．当极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，且极轴在x轴的正半轴上时，曲线D的极坐标力程为ρsin(θ+)=a．

(I)、试将曲线C的方程化为普通方程，曲线D的方程化为直角坐标方程；

(II)、试确定实数a的取值范围，使曲线C与曲线D有公共点．

23. 难度：中等

如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，, 底面, ,为的中点.

（Ⅰ）、求异面直线AB与MD所成角的大小；

（Ⅱ）、求平面与平面所成的二面角的余弦值.

24. 难度：中等

随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为．

（Ⅰ）求的分布列；

（Ⅱ）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；

（Ⅲ）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？