2010-2011学年河南省商丘市高三第二次模拟考试数学理卷

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U＝R，集合A＝{x｜lgx≤0}，B＝{x｜≤1}，则C_U（A∪B）＝

（A）（－∞，1） （B）（1 ,＋∞）     （C）（－∞，1]    （D）[1，＋∞）

2. 难度：中等

若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为

   （A）－2        （B）4             （C）－6          （D）6

3. 难度：中等

下列命题错误的是

   （A）命题“若lnx＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则lnx≠0”

   （B）“x>2”是“<”的充分不必要条件

   （C）命题p：∈R，使得sinx>1，则p：∈R，均有sinx≤1

   （D）若p∧q为假命题，则p，q均为假命题

4. 难度：中等

已知各项均不为零的数列{}，定义向量＝（，），＝（n，n＋1），n∈N﹡，下列命题中真命题是

   （A）若∈N﹡，总有∥成立，则数列{}是等差数列

   （B）若∈N﹡总有∥成立，则数列{}是等比数列

   （C）若∈N﹡总有⊥成立，则数列{}是等差数列

   （D）若∈N﹡总有⊥成立，则数列{}是等比数列

5. 难度：中等

已知数列{}中，＝1，＝＋n，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是

   （A）n≤8?     （B）n≤9?    （C）n≤10?    （D）n≤11?

6. 难度：中等

设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）＝， f（x＋2）＝f（x）＋f（2），则f（5）＝

   （A）0        （B）1        （C）        （D）5

7. 难度：中等

从5男4女中选4位代表，其中至少有2位男生，且至少有1位女生，分别到四个不同的工厂调查，不同的分派方法有

   （A）100种     （B）400种         （C）480种        （D）2400种

8. 难度：中等

双曲线（a，b>0）的一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为

   （A）      （B）          （C）         （D）

9. 难度：中等

若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为

   （A）π   （B）π  （C）π   （D）π

10. 难度：中等

下列四个命题：

① 的展开式共有6项；

②设回归直线方程为＝2－2．5x，当变量x增加—个单位时，y平均增加2．5个单位；

③已知ξ服从正态分布N （0，），且P（－2≤ξ≤0）＝0．4，则P（ξ＞2）＝0．2；

④已知函数f（a）＝，则f[f（）]＝1－cos1．其中正确命题的个数为

   （A）4          （B）3             （C）2            （D）1

11. 难度：中等

已知函数f（x）＝Acos（ωx＋）的图象如图所示，f（）＝－,则f（0）＝

（A）－     （B）－    （C）       （D）

12. 难度：中等

设函数f（x）＝（sinx－cosx）（0≤x≤2011π），则函数f（x）的各极大值之和为

（A）   （B）   （C）    （D）

二、填空题

13. 难度：中等

在平面直角坐标系xoy中，设D是由不等式组表示的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向E中随机投一点，则所投点落在D中的概率是___.

14. 难度：中等

由曲线y＝｜x｜，y＝－｜x｜，x＝2，x＝－2同成的封闭图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V，则V＝__________．

15. 难度：中等

已知函数f（x）＝，若f（x）存在零点，则实数a的取值范围

16. 难度：中等

直线l：x－y－＝0与抛物线＝4x相交于A、B两点，与x轴相交于点F，

    若＝λ＋μ（λ≤μ），则＝_______．

三、解答题

17. 难度：中等

（本小题满分12分）

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且－＝（2－）bc，sinA·sinB＝，BC边上中线AM的长为．

（Ⅰ）求角A和角B的大小；        

（Ⅱ）求△ABC的面积．

18. 难度：中等

（本小题满分12分）

        甲、乙两位学生参加数学建模竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预

赛成绩中随机抽取8次，记录如下：

    甲：72  71  69  68  85  78  83  74

    乙：82  85  70  65  73  70  80  75

   （Ⅰ）画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，指出学生乙成绩的中位数；

   （Ⅱ）现要从中选派一人参加数学建模竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位学生参加合适?请说明理由；

   （Ⅲ）若将频率视为概率，对学生甲在今后的三次数学建模竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

19. 难度：中等

（本小题满分12分）

如图，三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是，D是AC的中点．

   （Ⅰ）求证：B₁C∥平面A₁BD；                                      

   （Ⅱ）求二面角A₁－BD－A的大小；

   （Ⅲ）求直线AB₁与平面A₁BD所成的角的正弦值．

20. 难度：中等

（本小题满分12分）

        已知椭圆C₁和抛物线C₂的焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂的顶点均为原点，从它们每条曲线上至少取两个点，将其坐标记录于下表中：   

x	5	－	4
y	2	0	－4		－

（Ⅰ）求C₁和C₂的方程；

   （Ⅱ）过点S（0，－）且斜率为k的动直线l交椭圆C₁于A、B两点，在y轴上是否存在定点D，使以线段AB为直径的圆恒过这个点?若存在，求出D的坐标，若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

（本小题满分12分）

    已知函数f₁（x）＝,f₂（x）＝（其中m ∈R且m≠0）.

   （Ⅰ）讨论函数f₁（x）的单调性；

   （Ⅱ）若m<－2，求函数f（x）＝f₁（x）＋f₂（x）（x∈[－2，2]）的最值；

   （Ⅲ）设函数g（x）＝当m≥2时，若对于任意的x₁∈[2，＋∞），总存在唯一的x₂∈（－∞，2），使得g（x₁）＝g（x₂）成立．试求m的取值范围．

22. 难度：中等

（本小题满分10分）选修4－l：几何证明选讲

如图所示，圆O的两弦AB和CD交于点E，EF∥CB，EF交AD的延长线于点F，FG切圆O于点G．

   （Ⅰ）求证：△DFE∽△EFA；                                     

   （Ⅱ）如果FG＝1，求EF的长．

23. 难度：中等

（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

设函数f（x）＝｜x－1｜＋｜x－2｜．

   （Ⅰ）画出函数y＝f（x）的图象；

   （Ⅱ）若不等式｜a＋b｜－｜a－b｜≤｜a｜·f（x）对任意a，b∈R且a≠0恒成立，求实数x的范围