2010-2011学年湖北省高三5月模拟考试理科数学

一、选择题

1. 难度：中等

  已知全集，集合，则集合等于（    ）

    A．  B．

C．  D．

2. 难度：中等

已知集合，其中，则下面属于M的元素是（    ）

A． B． C．   D．

3. 难度：中等

如果对于任意实数，表示不超过的最大整数，例如，，

    , 那么“”是“”的（    ）                   

A．充分而不必要条件         B．必要而不充分条件[来

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

已知等差数列的前项和为，且满足，则的值是（    ）

A．              B．         C．     D．

5. 难度：中等

已知，则在内过点B的所有直线中（     ）

    A．不一定存在与平行的直线                 B．只有两条与平行的直线

    C．存在无数条与平行的直线                 D．存在唯一一条与平行的直线

6. 难度：中等

抛掷一枚硬币，出现正面向上记1分，出现反面向上记2分，若一共抛出硬币4次，且每一次抛掷的结果相互之间没有影响，则得6分的概率为（    ）

A．              B．                   C．           D．

7. 难度：中等

某出租车公司计划用450万元购买A型和B型两款汽车投入营运，购买总量不超过50辆，其中购买A型汽车需13万元／辆，购买B型汽车需8万元／辆．假设公司第一年A型汽车的纯利润为2万元／辆，B型汽车的纯利润为1.5万元／辆，为使该公司第一年纯利润最大，则需安排购买（    ）

A．10辆A型出租车，40辆B型出租车          B．9辆A型出租车，41辆B型出租车

C．11辆A型出租车，39辆B型出租车          D．8辆A型出租车，42辆B型出租车

8. 难度：中等

．设与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意，都有成立，则称和在上是“亲密函数”，区间称为“亲密区间”．若与在上是“亲密函数”，则其“亲密区间”可以是（   ）

    A．          B．   C．     D．

9. 难度：中等

用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为的个小正方形（如图1），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“、、”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（    ）

1	2	3
4	5	6
7	8	9

A．种        B．种            C．种            D．种

10. 难度：中等

．已知定义在上的函数 则下列结论中,错误的是(    )

A．

B．函数的值域为 

C．将函数的极值由大到小排列得到数列，则为等比数列

D．对任意的，不等式恒成立

二、填空题

11. 难度：中等

已知二项式展开式中第9项为常数项,则     ．

12. 难度：中等

设是实数．若函数是定义在上的奇函数，但不是偶函数，则函数的递增区间为            ．

13. 难度：中等

随机变量ξ的分布列如下：

ξ	－1	0	1
P

其中，，成等差数列．若，则Dξ的值是________．

14. 难度：中等

如图2，长方体中，其中，外接球球心为点O，外接球体积为，若的最小值为,则两点的球面距离为          ．

15. 难度：中等

．设，为不同的两点，直线，，以下命题中正确的序号为          ．

   不论为何值，点N都不在直线上；

若，则过M，N的直线与直线平行；

若，则直线经过MN的中点；

 若，则点M、N在直线的同侧且直线与线段MN的延长线相交．

三、解答题

16. 难度：中等

三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16. （本小题满分12分）

已知向量，定义函数

（Ⅰ）求函数最小正周期；

（Ⅱ）在△ABC中,角A为锐角，且，求边AC的长．

17. 难度：中等

（本小题满分12分）

如图3，已知正三棱柱的底面正三角形的边长是2，D是的中点，直线与侧面所成的角是．

（Ⅰ）求二面角的大小；

（Ⅱ）求点到平面的距离．

18. 难度：中等

（本小题满分12分）

某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为元，假设座位等距离分布，且至少有四个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为元.

（Ⅰ）试写出关于的函数关系式，并写出定义域；

（Ⅱ）当米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？

19. 难度：中等

（本题满分12分）

已知二次函数的图像过点，且，．

    （Ⅰ）求的解析式；

    （Ⅱ）若数列满足，且，求数列的通项公式；

（Ⅲ）记，为数列的前项和．求证: ．

20. 难度：中等

（本小题满分13分）

给定椭圆，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”． 若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到距离为．

（Ⅰ）求椭圆及其“伴随圆”的方程；

（Ⅱ）若过点的直线与椭圆C只有一个公共点，且截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为，求的值；

（Ⅲ）过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q作直线，使得与椭圆C都只有一个公共点，试判断直线的斜率之积是否为定值,并说明理由.

21. 难度：中等

（本题满分14分）

    已知函数，点．

   （Ⅰ）若，函数在上既能取到极大值，又能取到极小值，求的取值范围；

   （Ⅱ） 当时，对任意的恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）若，函数在和处取得极值，且，是坐标原点，证明：直线与直线不可能垂直.