2010-2011学年山西省忻州市高三第一次联考数学理卷

一、选择题

1. 难度：中等

若集合中元素个数为

A. 0                           B. 1   C. 2 D. 3

2. 难度：中等

复数,则等于

A.     B.      C.   D.

3. 难度：中等

若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示,则这个棱柱的体积为

A.                                                                                 B.         C.              D.6      

4. 难度：中等

函数的零点所在的大致区间是

A.(3,4）                                                                                         B. (2,e)      

C.(1,2)                                                                                           D.(0,1)

5. 难度：中等

如图,若程序框图输出的S是126,则判断框①中应为 

A.                             B.

C.                            D.

6. 难度：中等

设函数的图像

关于直线对称,它的周期是,则

A.的图象过点                                                      

B.在上是减函数

       C.的一个对称中心是                                         

D.将的图象向右平移个单位得到函数的图象.

7. 难度：中等

若函数在R上既是奇函数,又是减函数,则的图象是

8. 难度：中等

过点的直线将圆分成两段弧,当劣弧最短时,直线的方程是

A.                                              B.                 

C.                                  D.

9. 难度：中等

已知两个单位向量与的夹角为,则的充要条件是

A.                       B.           

C.          D.

10. 难度：中等

如图,墙上挂有一边长为1的正方形木板,它的阴影部分

是由函数的图象围成的图形.

某人向此板投镖,假设每次都能击中木板,且击中木板上

每个点的可能性都一样,则他击中阴影部分的概率是

A.            B.            C.           D.

11. 难度：中等

已知P为双曲线左支上一点,分别为双曲线的左、右焦点,若,则此双曲线离心率是

 A.                      B.5            C.2                       D.3

12. 难度：中等

已知分别是函数的两个极值点,且,

,则的取值范围是

A.                B.        C.              D.∪

二、填空题

13. 难度：中等

点到抛物线的准线的距离为6,则抛物线的方程是    ___  .

14. 难度：中等

在△中,已知,三角形面积为12,则   _____ .

15. 难度：中等

数列中,,则的最小值是__________.

16. 难度：中等

如图,正的中线与中位线相交,

已知是绕旋转过程中的一个

图形(不与重合).现给出下列四个命题:

①动点在平面上的射影在线段上;

②平面平面;     

③三棱锥的体积有最大值;

④异面直线与不可能垂直.其中正确的命题的序号是_________.

三、解答题

17. 难度：中等

本题满分12分)

如图,在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中,AC＝3,

BC＝4,,AA₁＝4,.点D是AB的中点．

    (1)求证：AC⊥BC₁；

 (2)求二面角的平面角的正切值.

18. 难度：中等

(本题满分12分)                                 

已知等差数列的公差大于0,且是方程的两根，数列 的前项的和为,且．

      (1) 求数列、的通项公式；

(2)设,求数列的前项和.

19. 难度：中等

.(本题满分12分)

甲、乙两位学生参加数学竞赛培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,记录如下：

甲: 82  81  79  78  95  88  93  84

乙: 92  95  80  75  83  80  90  85

     (1)画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图,求出甲学生成绩的平均数以及乙学生成绩的中位数；

     (2)若将频率视为概率,对甲学生在今后的三次数学竞赛成绩进行预测,记这三次成绩中高于80分的次数为,求的分布列及数学期望.

20. 难度：中等

(本题满分12分)

已知函数.

(1)求的单调区间；

(2)若不等式对任意恒成立,求a的范围.

21. 难度：中等

(本题满分12分)

已知椭圆的一个焦点是(1,0),两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点(4,0)且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点,设点关于轴的对称点为.求证:直线过轴上的一定点,并求出此定点坐标.

22. 难度：中等

【题文】(本题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲

如图,圆O的直径AB=10,弦DE⊥AB于点H,AH=2．

    (1)求DE的长；

    (2)延长ED到P，过P作圆O的切线，切点为C，若PC＝2，求PD的长.

23. 难度：中等

．(本题满分10分) 选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线Ｃ₁的极坐标方程为,曲线C₂的极坐标方程为，曲线C₁,C₂相交于点A、B．

    (1)分别将曲线C₁，C₂的极坐标方程化为直角坐标方程；

    (2)求弦AB的长．

24. 难度：中等

(本题满分10分) 选修4—5：不等式选讲

(1)解关于x的不等式；

(2)若关于的不等式有解，求实数的取值范围．