2010-2011学年江苏省高三上学期9月质量检测数学卷

一、填空题

1. 难度：中等

已知集合若，则实数m的值为         .

2. 难度：中等

若复数为虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为        .

3. 难度：中等

长方形ABCD中,，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1 的概率为___________.

4. 难度：中等

执行右边的程序框图,若，则输出的         .

5. 难度：中等

设为不重合的两条直线，为不重合的两个平面，给出下列命题：

（1）若∥且∥，则∥；（2）若且，则∥；

（3）若∥且∥，则∥；（4）若且，则∥．

上面命题中，所有真命题的序号是      ．

6. 难度：中等

如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前个小组的频率之比为，第小组的频数为，则抽取的学生人数是         .      

7. 难度：中等

若函数y=cosx (>0)在(0,)上是单调函数，则实数的取值范围是______.

8. 难度：中等

已知扇形的圆心角为（定值），半径为（定值），分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为，则按图二作出的矩形面积的最大值为               .

9. 难度：中等

已知点P在直线x+2y-1=0上，点Q在直线x+2y+3=0上，PQ的中点为M（x₀，y₀），且y₀>x₀+2，则的取值范围为                     。

10. 难度：中等

如图，已知是椭圆 的左、右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且点为线段的中点，则椭圆的离心率为         .

11. 难度：中等

等腰三角形ABC的腰AC上的中线BD的长为3，则△ABC的面积的最大值为     .

12. 难度：中等

给定正整数按右图方式构成三角形数表：第一行依次写上数1，2，3，……n，在下面一行的每相邻两个数的正中间上方写上这两个数之和，得到上面一行的数（比

下一行少一个数），依次类推，最后一行（第n行）只有一一个数. 例如n=6时数表如图所示，则当n=2010时最后一行的数是              .  

13. 难度：中等

已知函数是定义在上的单调增函数，当时，，若，则f(5)的值等于­­­­       ．

14. 难度：中等

已知f(x)=ax²+bx+c(a≠0)，g(x)=f[f(x)]

①若f(x)无零点，则g(x)>0对x∈R成立；

②若f(x)有且只有一个零点，则g(x)必有两个零点；

③若方程f(x)=0有两个不等实根，则方程g(x)=0不可能无解。

    其中真命题的个数是_________个。 

二、解答题

15. 难度：中等

（本题14分）已知为坐标原点，，.

（Ⅰ）求的单调递增区间；

（Ⅱ）若的定义域为，值域为，求的值.

16. 难度：中等

(14分)在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．

（Ⅰ）求四棱锥P－ABCD的体积V；

（Ⅱ）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；

（Ⅲ）求证CE∥平面PAB．

17. 难度：中等

如图，灌溉渠的横截面是等腰梯形，底宽2米，边坡的长为x米、倾角为锐角.

(1)当且灌溉渠的横截面面积大于8平方米时，求x的最小正整数值；

(2)当x=2时，试求灌溉渠的横截面面积的最大值.

18. 难度：中等

  (本题满分16分)

已知圆，点，直线.

⑴求与圆相切，且与直线垂直的直线方程；

⑵在直线上（为坐标原点），存在定点（不同于点），满足：对于圆上任一点，都有为一常数，试求所有满足条件的点的坐标.

19. 难度：中等

已知无穷数列{a_n}中，a₁，a₂，…，a_m是首项为10，公差为－2的等差数列；a_m＋1，

a_m＋2，…，a_2m是首项为，公比为的等比数列（其中 m≥3，m∈N*），并对任意的n∈N*，均有a_n＋2m＝a_n成立．

（1）当m＝12时，求a₂₀₁₀；

（2）若a₅₂＝，试求m的值；

（3）判断是否存在m（m≥3，m∈N*），使得S_128m＋3≥2010成立？若存在，试求出m的值；若不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

(本小题满分16分)

已知,

且.

(Ⅰ)当时,求在处的切线方程；

(Ⅱ)当时,设所对应的自变量取值区间的长度为(闭区间

 的长度定义为),试求的最大值；

(Ⅲ)是否存在这样的，使得当时,?若存在,求出的取值范围；若不存在，请说明理由.