2010-2011学年江苏省盐城市高三摸底考试数学卷

一、填空题

1. 难度：简单

已知集合=       。

2. 难度：简单

已知复数=      。

3. 难度：简单

双曲线的离心率是       。

4. 难度：简单

在大小相同的4个球中，红球2个，白球2个，若从中任意选取2个球，则所选的2个球恰好不同色的概率是     。

5. 难度：简单

在样本容量为120的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若正中间一个小长方形的面积等于其它10个小长形面积的和的，则正中间一组的频数为     。

6. 难度：简单

执行如图算法框图，若输入则输出的值为    。

                  

7. 难度：简单

在  则=      。

8. 难度：简单

在等比数列      。

9. 难度：简单

函数的单调减区间为      。

10. 难度：简单

已知命题①：函数为奇函数；命题②：函数在其定义域上是增函数；命题③：“”的逆命题；命题④：已知“”是“”成立的充分不必要条件，上述命题中，真命题的序号有   。（请把你认为正确命题的序号都填上）。

11. 难度：简单

已知一个三棱锥的所有棱长均相等，且表现积为，则其体积为      。

12. 难度：简单

过点的弦，其中长度为整数的弦共有  

条。

13. 难度：简单

在等差数列类比此性质，在等比数列之间的一个不等关系为       。

14. 难度：简单

已知若函数在其定义域上有且仅有四个不同的零点，则实数a的取值范围是        。

二、解答题

15. 难度：简单

（本小题满分14分）

    在

   （I）求的值；

   （II）求的值.

16. 难度：简单

（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥PD，E、F分别为PC、BD的中点。

   （I）求证：直线EF//平面PAD；

   （II）求证：直线EF⊥平面PDC。

                 

17. 难度：简单

（本小题满分14分）

经市场调查，某商场的一种商品在过去的一个月内（以30天计）销售价格（元）与时间（天）的函数关系近似满足（为正常数），日销售量（件）与时间（天）的函数关系近似满足，且第25天的销售金额为13000元.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）试写出该商品的日销售金额关于时间的函数关系式；

（Ⅲ）该商品的日销售金额的最小值是多少？

18. 难度：简单

（本小题满分16分）

如图，已知抛物线的焦点为，是抛物线上横坐标为8且位于轴上方的点. 到抛物线准线的距离等于10，过作垂直于轴，垂足为，的中点为（为坐标原点）.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）过作，垂足为，求点的坐标；

（Ⅲ）以为圆心，4为半径作圆，点是轴上的一个动点，试讨论直线与圆的位置关系.

                       

19. 难度：简单

（本小题满分16分）

公差的等差数列的前项和为，已知，.

（Ⅰ）求数列的通项公式及其前项和；

（Ⅱ）记，若自然数满足，并且

成等比数列，其中，求（用表示）；

（Ⅲ）记，试问：在数列中是否存在三项恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由.

20. 难度：简单

（本小题满分16分）

对于函数，如果是一个三角形的三边长，那么也是一个三角形的三边长，则称函数为“保三角形函数”．

对于函数，如果是任意的非负实数，都有是一个三角形的三边长，则称函数为“恒三角形函数”．

（Ⅰ）判断三个函数“（定义域均为）”中，哪些是“保三角形函数”？请说明理由；

（Ⅱ）若函数是“恒三角形函数”，试求实数的取值范围；

（Ⅲ）如果函数是定义在上的周期函数，且值域也为，试证明：既不是“恒三角形函数”，也不是“保三角形函数”.

21. 难度：简单

（选修4—1：几何证明选讲）

     如图，AB是⊙O的直径，C、F为⊙O上的点，且CA平分∠BAF，过点C作CD⊥AF，交AF的延长线于点D。

    求证：DC是⊙O的切线。

                         

22. 难度：简单

（选修4—2：矩阵与变换）

已知矩阵，矩阵M对应的变换把曲线变为曲线C，求曲线C的方程。

23. 难度：简单

（选修4—4：坐标系与参数方程）

已知两个圆的极坐标方程分别是，求这两个圆的圆心距。

24. 难度：简单

（选修4—5：不等式选讲）

设x是正数，求证：

25. 难度：简单

（本小题满分10分）

已知四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形，AB//DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点。

   （I）求AC与PB所成角的余弦值；

   （II）求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值的大小。

                                   

26. 难度：简单

（本小题满分10分）

    一位游客欲参观上海世博会中甲、乙、丙这3个展览馆，又该游客参观甲、乙、丙这3个展览馆的概率分别是0.4，0.5，0.6，且是否参观哪个展览馆互不影响，设表示该游客离开上海世博会时参观的展览馆数与没有参观的展览馆数之差的绝对值.

（Ⅰ）求的概率分布及数学期望；

（Ⅱ）记“函数在区间上单调递增”为事件，求事件的概率.