2010-2011学年河南省开封市高三统考理科数学卷

一、选择题

1. 难度：简单

设集合，则下列关系中正确的是 （    ）

    A．        B．         C．       D．

2. 难度：简单

已知是虚数单位，则等于            （    ）

    A．         B．         C．        D．

3. 难度：简单

已知命题；和命题则下列命题为真的是    （    ）

    A．         B．       C．       D．

4. 难度：简单

设函数                   （    ）

    A．在区间内均有零点      

    B．在区间内均无零点

    C．在区间内有零点，在区间内无零点

    D．在区间内无零点，在区间内有零点

5. 难度：简单

在中，角A，B，C的对边分别为，则角B的值为               （    ）

    A．             B．             C．       D．

6. 难度：简单

如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数图象下方的点构成的区域，向D中随机投一点，则该点落入E中的概率为                             （    ）

    A．             B．            

    C．             D．

                                      

7. 难度：简单

如图是一个算法的程序框图，若该程序输出的结果为则判断框中应填入的条件是 （    ）              

    A．T>4            B．T<4           

    C．T>3            D． T<3

                           

8. 难度：简单

设函数为奇函数，=          （    ）

    A．0              B．1             

    C．             D．5

9. 难度：简单

一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是 （    ）

    A．海里     B．海里     C．海里     D．海里

10. 难度：简单

如图，正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱长为1，线段B₁D上有两个动点，且则下列结论中错误的是                              （    ）

    A．AC⊥BE

    B．EF//平面ABCD

    C．三棱锥A—BEF的体积为定值

    D．△AEF的面积与△BEF的面积相等

                       

11. 难度：简单

设，则不等式的解集为   （    ）

    A．                   B．

    C．                D．（1，2）

12. 难度：简单

在中，，则以A，B为焦点且示点C的双曲线的离心率为（    ）

    A．        B．        C．        D．

二、填空题

13. 难度：简单

若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于          ．

                  

14. 难度：简单

随机抽查某中学高三年级100名学生的视力情况，得其频率分布直方图如右图所示。已知前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，则视力在4．6到5．0之间的学生人数为                   人。

                  

15. 难度：简单

与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是               。

16. 难度：简单

曲线和直线在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为则|P₂P₄|等于            ．

三、解答题

17. 难度：简单

（本小题满分12分）设数列的前n项和为，且 

   （Ⅰ）设，求证：数列是等比数列；

   （Ⅱ）求数列的通项公式．

18. 难度：简单

（本小题满分12分）在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，CA=CB=CC₁=2，，E、F分别是BA、BC的中点，G是AA₁上一点，且

   （Ⅰ）确定点G的位置；

   （Ⅱ）求直线AC₁与平面EFG所成角θ的大小．  

                    

19. 难度：简单

（本题满分12分）某品牌的汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如右表所示：

付款方式	分l期	分2期	分3期	分4期	分5期
频数

    已知分3期付款的频率为0．2，4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款其利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元．用表示经销一辆汽车的利润．

   （Ⅰ）求上表中a，b的值；

   （Ⅱ）若以频率作为概率，求事件A：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有l位采用3期付款”的概率P（A）；

   （Ⅲ）求的分布列及数学期望．

20. 难度：简单

（本小题满分12分）如图所示，已知A、B、C是椭圆上三点，其中点A的坐标为，BC过椭圆的中心O，且

   （Ⅰ）求点C的坐标及椭圆E的方程；

   （Ⅱ）若椭圆E上存在两点P， Q，使得的平分线总垂直于z轴，试判断向量是否共线，并给出证明．

                       

21. 难度：简单

（本小题满分12分）已知函数

   （Ⅰ）当时，求函数的图像在点处的切线方程；

   （Ⅱ）若在R上单调，求的取值范围；

   （Ⅲ）当时，求函数的极小值．

22. 难度：简单

（本小题满分10分）选修4一l：几何证明选讲

    如图，已知AP是圆O的切线，P为切点，AC是圆O的割线，与圆O交于B，C两点，圆心O在的内部，点M是BC的中点．

   （Ⅰ）证明A，P，0，M四点共圆；

   （Ⅱ）求的大小。

                     

23. 难度：简单

（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

    设函数

   （Ⅰ）画出函数的图像；

   （Ⅱ）若不等式恒成立，求实数的范围。