2010-2011学年湖北省、钟祥一中高三第二次联考数学理卷

一、选择题

1. 难度：中等

函数y＝的定义域为(    ）

    A．(1，＋∞)    B．(－∞，2)    C．(1，2)   D．[1，2)

2. 难度：中等

等差数列{a n}，｛b n｝的前n项和分别为Sn，Tn，若，则等于（    ）

    A．   B．   C．   D．

3. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，若＝(a－b,1)和＝(b－c,1)平行，且sinB＝，当△ABC的面积为时，则b等于（    ）

    A．  B．2    C．4    D．2＋

4. 难度：中等

对于非空集合A．B，定义运算AB＝{x | x∈A∪B，且xA∩B}，已知两个开区间M＝(a，b)，N＝(c，d)，其中a．b．c．d满足a＋b＜c＋d，ab＝cd＜0，则MN等于

                                    （    ）

    A．(a，b)∪(c，d)           B．(a，c)∪(b，d)

    C．(a，d)∪(b，c)           D．(c，a)∪(d，b)

5. 难度：中等

．已知f (x)＝x2－2x，则满足条件的点（x，y）所形成区域的面积为（    ）

    A．π   B．π C．2π  D．4π

6. 难度：中等

已知A．B．C是平面上不共线的三点，O为△ABC的外心，动点P满足（λ∈R）， 则P的轨迹一定过△ABC的（    ）

    A．内心 B．垂心 C．重心 D．AC边的中点

7. 难度：中等

已知圆C：x2＋y2＝1，点P(x 0，y0)在直线x－y－2＝0上，O为坐标原点，若圆C上存在点Q，使∠OPQ＝30°，则x0的取值范围是          （    ）

    A．[－1，1] B．[0，1]   C．[－2，2] D．[0，2]

8. 难度：中等

定义在R上的函数f (x)满足f (0)＝0，f (x)＋f (1－x)＝1，f()＝f (x)，且当0≤x1＜x2≤1时，有f(x1)≤f (x2)，则f ()等于                    （    ）

    A．   B．  C．  D．

9. 难度：中等

设y＝f (x)在[0，＋∞)上有定义，对于给定的实数K，定义函数fK(x)＝给出函数f (x)＝2－x－x2，若对于任意x∈［0，＋∞)，恒有fK(x)＝f(x)，则 （    ）

    A．Ｋ的最大值为       B．K的最小值为

    C．K的最大值为2        D．K的最小值为2

10. 难度：中等

已知：a1＜a2＜a3，b1＜b2＜b3，a1＋a2＋a3＝b1＋b2＋b3，a1a2＋a1a3＋a2a3＝b1b2＋b1b3 +b2b3且a1＜b1，有下列四个命题

    （1）b2＜a2；      （2）a3＜b3；         （3）a1a2a3＜b1b2b3；（

    （4）(1－a1)(1－a2)(1－a3)＞(1－b1)(1－b2)(1－b3)，其中真命题个数为

    A．1    B．2    C．3    D．4

二、填空题

11. 难度：中等

已知sin(α＋)＝，则cos(－2α)的值为

12. 难度：中等

已知函数f (x) 的导数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f (x)在x＝a处取得极大值，则a的取值范围是

13. 难度：中等

如图，在正方形ABCD中，已知AB＝2，M为BC的中点，若N为正方形内（含边界）任意一点，则·的最大值为　　　　　　　

14. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，设直线y＝x＋2m和圆x2＋y2＝n2相切，其中m，n∈N*，0＜| m－n |≤1，若函数f (x)＝mx+1－n的零点x0∈（k，k＋1），k∈Z，则k＝

15. 难度：中等

已知：A(－2，0)，Ｂ(2，0)，C(0，2)，E(－1，0)，F(1，0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上（不含端点）FD斜率的范围为

三、解答题

16. 难度：中等

（12分）在锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2＝bc＋a2

    （1）求∠A；

    （2）若a＝，求b2＋c2的取值范围。

17. 难度：中等

（12分）如图，从边长为2a的正方形铁皮的四个角各截去一个边长为x的小正方形，再将四边向上折起，做成一个无盖的长方体铁盒，且要求长方体的高度x与底面正方形的边长的比不超过常数t，问：x取何值时，长方体的容积V有最大值？

18. 难度：中等

（12分）如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点。

    （1）求证：B1C1⊥平面ABB1A1；

    （2）在CC1上是否存在一点E，使得∠BA1E＝45°，若存在，试确定E的位置，并判断平面A1BD与平面BDE是否垂直？若不存在，请说明理由。

19. 难度：中等

（12分）设｛an｝是由正数组成的等差数列，Sn是其前n项和

    （1）若Sn＝20，S2n＝40，求S3n的值；

    （2）若互不相等正整数p，q，m，使得p＋q＝2m，证明：不等式SpSq＜S成立；

    （3）是否存在常数k和等差数列｛an｝，使ka－1＝S2n－Sn+1恒成立（n∈N*），若存在，试求出常数k和数列｛an｝的通项公式；若不存在，请说明理由。

20. 难度：中等

（13分）已知，A是抛物线y2＝2x上的一动点，过A作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线分别切圆于EF两点，交抛物线于M．N两点，交y轴于B．C两点

    （1）当A点坐标为(8，4)时，求直线EF的方程；

    （2）当A点坐标为(2，2)时，求直线MN的方程；

    （3）当A点的横坐标大于2时，求△ABC面积的最小值。

21. 难度：中等

（14分）设函数f(x)＝xn（n≥2，n∈N*）

    （1）若Fn(x)＝f(x－a)＋f(b－x)（0＜a＜x＜b），求Fn(x)的取值范围；

    （2）若Fn(x)＝f(x－b)－f(x－a)，对任意n≥a (2≥a＞b＞0)，

证明：F(n)≥n(a－b)(n－b)n-2。