2010-2011学年湖北省武汉市高三第5次月考数学理卷

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合M＝{x|x²－2x－3≤0，x∈R}，N＝{x||x|<2，x∈R}，则M∩N等于(　　)

A.∅                                B.{x|－1≤x<2}

C.{x|－2≤x<－1}                    D.{x|2≤x<3}

2. 难度：中等

若a，b是空间两条不同的直线，α，β是空间的两个不同的平面，则a⊥α的一个充分不必要条件是(　　)

A.a∥β，α⊥β                       B.a⊂β，α⊥β

C.a⊥b，b∥α                       D.a⊥β，α∥β

3. 难度：中等

函数y＝3^x＋1(－1≤x<0)的反函数是(　　)

A.y＝1＋log₃x(x>0)                   B.y＝－1＋log₃x(x>0)

C.y＝－1＋log₃x(1≤x<3)              D.y＝－1＋log₃x(－1≤x<3)

4. 难度：中等

已知两个向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，若(a＋2b)//(2a－2b)，则x的值是(　　)

A.1              B.2              C.              D.

5. 难度：中等

已知x，y满足条件，则x－y的取值范围是(　　)

A.[1,2]           B.[－1,2]          C.[－2,1]        D.[－2，－1]

6. 难度：中等

一次演出，原计划要排4个节目，因临时有变化，拟再添加2个小品节目，若保持原有4个节目的相对顺序不变，则这6个节目不同的排列方法有(　　)

A.30种          B.25种            C.24种         D.20种

7. 难度：中等

已知{a_n}是等比数列，a₂＝2，a₅＝，则a₁a₂＋a₂a₃＋…＋a_na_n＋1(n∈N^)的取值范围是

A.[12,16]                             B.[8，]

C.[8，)                             D.[，]

8. 难度：中等

已知定义域是全体实数的函数y＝f(x)满足f(x＋2π)＝f(x)，且函数g(x)＝，函数h(x)＝.现定义函数p(x)，q(x)为：p(x)＝，

q(x)＝，其中k∈Z，那么下列关于p(x)，q(x)叙述正确的是(　　)

A.都是奇函数且周期为π                   B.都是偶函数且周期为π

C.均无奇偶性但都有周期性                 D.均无周期性但都有奇偶性

二、填空题

9. 难度：中等

设i为虚数单位，则复数＝　　　.

10. 难度：中等

若ⁿ展开式的二项式系数之和为256，则n＝　　，其展开式的常数项等于　　.(用数字作答)

11. 难度：中等

.在等差数列{a_n}中，已知a₁＋2a₈＋a₁₅＝96，则2a₉－a₁₀＝　　　.

12. 难度：中等

设函数y＝2sin(2x＋)的图象关于点P(x_0,0)成中心对称，若x₀∈[－，0]，则x₀＝　　.

13. 难度：中等

以双曲线－＝1的离心率为半径，以右焦点为圆心的圆与该双曲线的渐近线相切，则m＝　　　.

14. 难度：中等

.连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别为2和4，M、N分别是AB、CD的中点，两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：

①弦AB、CD可能相交于点M；

②弦AB、CD可能相交于点N；

③MN的最大值是5；

④MN的最小值是1；

其中所有正确命题的序号为　　　.

三、解答题

15. 难度：中等

.(本小题满分13分)

已知函数f(x)＝sinωx·cosωx－cos²ωx(ω>0)的最小正周期为.

(Ⅰ)求ω的值；

(Ⅱ)设△ABC的三边a、b、c满足b²＝ac，且边b所对的角为x，求此时f(x)的值域.

16. 难度：中等

.(本小题满分13分)

将3封不同的信投进A、B、C、D这4个不同的信箱、假设每封信投入每个信箱的可能性相等.

(Ⅰ)求这3封信分别被投进3个信箱的概率；

(Ⅱ)求恰有2个信箱没有信的概率；

(Ⅲ)求A信箱中的信封数量的分布列和数学期望.

17. 难度：中等

(本小题满分13分)

如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是菱形，∠BCD＝60°，点E是BC边的中点，AC与DE交于点O，PO⊥平面ABCD.

(Ⅰ)求证：PD⊥BC；

(Ⅱ)若AB＝6，PC＝6，求二面角P－AD－C的大小；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，求异面直线PB与DE所成角的余弦值.

18. 难度：中等

(本小题满分13分)

设定义在R上的函数f(x)＝a₀x⁴＋a₁x³＋a₂x²＋a₃x＋a₄(a₀，a₁，a₂，a₃，a₄∈R)当x＝－1时，f(x)取得极大值，且函数y＝f(x＋1)的图象关于点(－1,0)对称.

(Ⅰ)求函数f(x)的表达式；

(Ⅱ)试在函数y＝f(x)的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[－，]上；

(Ⅲ)设x_n＝，y_m＝(m，n∈N^)，求证：|f(x_n)－f(y_m)|<.

19. 难度：中等

(本小题满分14分)

已知F₁，F₂分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，曲线C是以坐标原点为顶点，以F₂为焦点的抛物线，自点F₁引直线交曲线C于P、Q两个不同的交点，点P关于x轴的对称点记为M.设＝λ.

(Ⅰ)求曲线C的方程；

(Ⅱ)证明：＝－λ；

(Ⅲ)若λ∈[2,3]，求|PQ|的取值范围.

20. 难度：中等

(本小题满分14分)

已知数列{a_n}中，a₁＝t(t∈R，且t≠0,1)，a₂＝t²，且当x＝t时，

函数f(x)＝(a_n－a_n－1)x²－(a_n＋1－a_n)x(n≥2，n∈N^)取得极值.

(Ⅰ)求证：数列{a_n＋1－a_n}是等比数列；

(Ⅱ)若b_n＝a_nln|a_n|(n∈N^)，求数列{b_n}的前n项和S_n；

(Ⅲ)当t＝－时，数列{b_n}中是否存在最大项？如果存在，说明是第几项；如果不存在，请说明理由.