2010-2011学年湖南省常德市高三质量检测考试数学理卷

一、选择题

1. 难度：中等

若集合，则集合（  ）

A.    B.  C.  D.

2. 难度：中等

复数                                                  （  ）

 A.2        B.-2        C.2i          D.-2i

3. 难度：中等

设和是两个不重合的平面，给出下列命题：

①若内两条相交直线分别平行于内的两条直线 ，则；

②若外一条直线与内一条直线平行，则；

③设，若内有一条直线垂直于，则；

④直线的充要条件是与内的两条直线垂直。

上面的命题中，真命题的序号是                           （   ）

A. ①②        B. ②③       C. ①②③        D. ②③④

4. 难度：中等

图1是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是 （  ）

A.           B.        

 C.        D.

5. 难度：中等

．函数的导函数

的最大值为3，则f(x)的图象的一条对称

轴的方程是（    ）

A.      B.   

  C.      D.

6. 难度：中等

已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则a的取值范围是 （  ）  

A．          B.        C.        D.

7. 难度：中等

已知正项等差数列的前20项的和为100，那么的最大值为(    )

A.25              B.50             C.100           D.不存在

8. 难度：中等

若有序数对满足在求时各位均不会进位，则称为“简单的”有序数对，称为有序数对的值。如（21，35）是简单的有序数对，其值为56；而（27，29）不是简单有序数对。那么值为168的“简单的”有序数对的个数是(   )

A.63             B.84            C.126          D.168

二、填空题

9. 难度：中等

图2是一个几何体的三视图，根据图中的数据，可得该几何体的表面积为    。

10. 难度：中等

在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，，，则      

11. 难度：中等

．若则的解集是            

12. 难度：中等

．某企业有个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从个分厂生产的电子产品中共取件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为，，，则抽取的件产品的使用寿命的平均值为               _  _h 。

13. 难度：中等

若不等式组表示的平面区域为，所表示的平面区域为，现随机向区域内抛一粒豆子，则豆子落在区域内的概率为_   。

14. 难度：中等

．已知R上的奇函数对都有成立， 则等于      

15. 难度：中等

对于任意正整数j，k，定义，如.对

于任意不小于2的正整数m、n，，

，则=            ； =    .

三、解答题

16. 难度：中等

已知、、分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，设，.

(1)求角A的大小；  (2)若,求的值.

17. 难度：中等

     （本小题12分）

如图3，已知在侧棱垂直于底面

的三棱柱中，AC=BC, AC⊥BC,点D是A₁B₁中点.

(1)求证：平面AC₁D⊥平面A₁ABB_1;

(2)若AC₁与平面A₁ABB₁所成角的正弦值

为，求二面角D- AC₁-A₁的余弦值.

18. 难度：中等

（本小题12分）

A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为。

(Ⅰ)求一个试验组为甲类组的概率；

(Ⅱ) 观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数，求的分布列和数学期望。

19. 难度：中等

（本小题满分13分）

已知定点，，动点A满足｜AE|=4，线段AF的垂直平分线交AE于点M。

（1）求点M的轨迹C₁的方程；

（2）抛物线C₂：与C₁在第一象限交于点P，直线PF交抛物线于另一个点Q，求抛物线的POQ弧上的点R到直线PQ的距离的最大值。

20. 难度：中等

（本小题满分13分）

某奖励基金发放方式为：每年一次，把奖金总额平均分成6份，奖励在某6个方面为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息存入基金总额，以便保证奖金数逐年增加。假设基金平均年利率为，2000年该奖发放后基金总额约为21000万元。用表示为第年该奖发放后的基金总额（2000年为第一年）。

   （1）用表示与，并根据所求结果归纳出的表达式；

   （2）试根据的表达式判断2011年度该奖各项奖金是否超过150万元？并计算从2001年到2011年该奖金累计发放的总额。

（参考数据：）

21. 难度：中等

函数

（1）求的单调区间；

（2）求使函数f(x)有零点的最小正整数a的值；

（3）证明：