2011年普通高中招生考试北京市高考理科数学

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合P=｛x︱x²≤1｝,M=｛a｝.若P∪M=P,则a的取值范围是

（A）(-∞, -1]  （B）[1, +∞）  （C）[-1，1]  （D）（-∞，-1] ∪[1，+∞）

2. 难度：中等

复数

（A）i             （B）-i              （C）        （D）

3. 难度：中等

在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是

(A)         (B)              (C)  (1,0)             (D)(1，)

4. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的s值为

（A）-3

（B）-

（C）

（D）2

5. 难度：中等

如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G。给出下列三个结论：

1AD+AE=AB+BC+CA；

2AF·AG=AD·AE

③△AFB ～△ADG

其中正确结论的序号是

（A）①②                           （B）②③

（C）①③                           （D）①②③

6. 难度：中等

根据统计，一名工作组装第4件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A，C为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么C和A的值分别是

（A）75，25   （B）75，16   （C）60，25      （D）60，16

7. 难度：中等

某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是

(A) 8       (B)       (C)10       (D)

8. 难度：中等

设,，,.记为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数的值域为

（A）                      （B）

（C）                      （D）

二、填空题

9. 难度：中等

在中。若b=5，，tanA=2，则sinA=____________；a=_______________。

10. 难度：中等

已知向量a=（，1），b=（0，-1），c=（k，）。若a-2b与c共线，则k=___________________。

11. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，a₁=，a₄=-4，则公比q=______________；_________________。

12. 难度：中等

已知函数若关于x 的方程f(x)=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是_______

13. 难度：中等

曲线C是平面内与两个定点F₁（-1，0）和F₂（1，0）的距离的积等于常数 a² (a >1)的点的轨迹.给出下列三个结论：

① 曲线C过坐标原点；

② 曲线C关于坐标原点对称；

③若点P在曲线C上，则△FPF的面积大于a。

其中，所有正确结论的序号是             。

三、解答题

14. 难度：中等

（本小题共13分）

已知函数。

（Ⅰ）求的最小正周期：

（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值。

15. 难度：中等

（本小题共14分）

如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，.

 

(Ⅰ)求证：平面

（Ⅱ）若求与所成角的余弦值；

（Ⅲ）当平面与平面垂直时，求的长.

16. 难度：中等

本小题共13分

以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。

（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；

（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。

（注：方差，其中为，，…… 的平均数）

17. 难度：中等

（本小题共13分）

已知函数。

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）若对于任意的，都有≤，求的取值范围。

18. 难度：中等

（（本小题共14分）

已知椭圆.过点（m,0）作圆的切线l交椭圆G于A，B两点.

（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；

（II）将表示为m的函数，并求的最大值.

19. 难度：中等

（(本小题共13分)

若数列满足，数列为数列，记=.

（Ⅰ）写出一个满足，且〉0的数列；

（Ⅱ）若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2011；

（Ⅲ）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列，使得=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由。

【解析】：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A₅。

（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A₅）

（Ⅱ）必要性：因为E数列A₅是递增数列，所以.所以A₅是首项为12，公差为1的等差数列.所以a₂₀₀₀=12+（2000—1）×1=2011.充分性，由于a₂₀₀₀—a₁₀₀₀1，a₂₀₀₀—a₁₀₀₀1……a₂—a₁1所以a₂₀₀₀—a19999，即a₂₀₀₀a₁+1999.又因为a₁=12，a₂₀₀₀=2011,所以a₂₀₀₀=a₁+1999.故是递增数列.综上，结论得证。