2011年浙江省杭州市高二寒假作业数学理卷二

一、选择题

1. 难度：简单

命题：“若，则”的逆否命题是（   ）

A.若，则      B.若，则

C.若，则      D.若，则

2. 难度：简单

抛物线的准线方程是（   ）

A．        B．         C．           D．  

3. 难度：简单

设命题甲为：,命题乙为,则甲是乙的（  ）

A．充分不必要条件          B．必要不充分条件 

C．充要条件                D．既不充分又不必要条件

4. 难度：简单

已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若⊿AB是正三角形，则这个椭圆的离心率为（   ）

A．        B．         C．         D．

5. 难度：简单

已知，则的最小值为            （     ）

    A．           B．            C．             D．

6. 难度：简单

过抛物线 y² = 4x 的焦点作直线交抛物线于A（x₁, y₁）B（x₂, y₂）两点，如果=6，

那么＝（      ）     

A.  6       B.  8       C. 9         D. 10

7. 难度：简单

在直角坐标系中，，沿轴把直角坐标系折成的二面角，则此时线段的长度为（    ）

A．  B．  C．   D．

8. 难度：简单

正方体A-C₁中，棱长为1，M在棱AB上，AM=1/3，P是面ABCD上的动点，P到线A₁D₁的距离与P到点M的距离平方差为1，则P点的轨迹以下哪条曲线上？ （    ） 

     A．圆   B. 椭圆  C.双曲线   D.抛物线        

二、填空题

9. 难度：简单

若方程表示的图形是双曲线，则的取值范围为            ．

10. 难度：简单

已知空间三点的坐标为，，，若A、B、C三点共线，则       。

11. 难度：简单

设直线的方向向量是，平面的法向量是，则下列推理中

①            ②

③            ④

中正确的命题序号是               ．

12. 难度：简单

已知△ABC的顶点为，，，则△ABC的面积是            ．

13. 难度：简单

如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是        。

14. 难度：简单

有一隧道，内设双行线公路，同方向有两个车道（共有四个车道），每个车道宽为3m，此隧道的截面由一个长方形和一抛物线构成，如图所示。为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少为，靠近中轴线的车道为快车道，两侧的车道为慢车道，则车辆通过隧道时，慢车道的限制高度为               ．（精确到）

三、解答题

15. 难度：简单

双曲线的离心率等于2，且与椭圆有相同的焦点，求此双曲线方程．

16. 难度：简单

设：P: 指数函数在x∈R内单调递减；Q：曲线y=x²+(2a-3)x+1与x轴交于不同的两点。如果为真，也为真，求a的取值范围。

17. 难度：简单

如图，棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=.

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）求二面角P—CD—B的大小；

（Ⅲ）求点C到平面PBD的距离.

18. 难度：简单

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点.

   （Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；

（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.

19. 难度：简单

如图所示，F₁、F₂分别为椭圆C：的左、右两个焦点，A、B为两个顶点，

已知椭圆C上的点到F₁、F₂两点的距离之和为4.

（Ⅰ）求椭圆C的方程和焦点坐标；

（Ⅱ）过椭圆C的焦点F₂作AB的平行线交椭圆于P、Q两点，求△F₁PQ的面积.