2011年辽宁省瓦房店市五校高二上学期竞赛数学理卷

一、选择题

1. 难度：简单

设集合S={x|x²-5|x|+6=0}, T={x|(a-2)x=2}, 则满足T (≠S的a的值共有   (     )

   A.5             B.4             C.3               D.2

2. 难度：简单

过点的直线将圆分成两段弧，当其中的优弧最长时，

直线的方程是(     )

    A．          B．    C．         D． 

3. 难度：简单

已知=(cosπ, sinπ), , ，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积等于（    ）

A．1                B．               C．2                D．

4. 难度：简单

函数的图象如右图所示，则函数的单调递减区间是(     )

A.     B.    C.      D . 

5. 难度：简单

．已知则函数的最大值为（    ）

A. 3       B. 6       C. 13     D.  22

6. 难度：简单

．若为奇函数, 且在[0,]为增函数, 则的一个值为(     )

 A.        B. -          C.        D. -    

7. 难度：简单

已知定义在R上的函数满足下列三个条件：

①对任意的x∈R都有；

②对于任意的，都有

③的图象关于y轴对称．    则下列结论中正确的是     (     )   

A．        B． 

C．        D．

8. 难度：简单

若f(x)=|lgx|,当a<b<c时，f(a)>f(c)>f(b).则下列不等式中正确的为（　 ）。

　　A．(a-1)(c-1)>0　　 B．ac>1　　 C．ac=1　　 D．ac<1

9. 难度：简单

．设、、、是半径为的球面上的四点，且满足，，，则的最大值是          (     )

    A．           B．            C．           D．

10. 难度：简单

．已知，满足时有恒成立，且

与的大小为  (     )

A.    B.    C.    D.大小不定

11. 难度：简单

．函数是定义在R上恒不为0的函数，对任意都有，

若，则数列的前n项和S_n的取值范围是   （     ）

A．            B．            C．             D．

12. 难度：简单

函数的定义域为D，若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有≤，

   则称函数在D上为非减函数．设函数在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①； ②    ③

   则+等于           （    ）

    A．             B．             C．1              D．

二、填空题

13. 难度：简单

已知x, y满足, 若的最大值为, 最小值为, 则 

的取值范围是______________

14. 难度：简单

关于函数有下列命题：

①函数的图象关于y轴对称 ②在上是增函数;在上是减函数  ③函数的最小值是 ④在上为增函数

 ⑤无最大值,也无最小值 ,其中正确命题的序号是_________

15. 难度：简单

．设有一组圆．下列四个命题：

Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切

Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交

Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不相交

Ｄ．所有的圆均不经过原点

其中真命题的代号是              ．（写出所有真命题的代号）

16. 难度：简单

抛物线上不存在关于直线对称的两点，则的取值范围是         

三、解答题

17. 难度：简单

（本小题满分10分）已知函数，．

（1）求的最大值和最小值；

（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

18. 难度：简单

．（本小题满分12分）已知函数.若为整数，且函数在内恰有一个零点，求的值.

19. 难度：简单

．（本小题满分12分）如图，在正方体中，

、分别为棱、的中点．

（1）求证：∥平面；

（2）求证：平面⊥平面；

（3）如果，一个动点从点出发在正方体的

表面上依次经过棱、、、、上的点，最终又回到点，指出整个路线长度的最小值并说明理由.

20. 难度：简单

．已知椭圆过点，且离心率e＝.

（1）求椭圆方程；

（2）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围。

21. 难度：简单

．（本小题满分12分）设函数的定义域为R，当时，，且对任意实数，都有成立，数列满足且

（1）求的值；

（2）若不等式对一切均成立，求的最大值.

22. 难度：简单

．（本小题满分12分）对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”.函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，.

（1）求证：；

（2）若，且，求实数的取值范围；

（3）若是上的单调递增函数，是函数的稳定点，问是函数的不动点吗？若是，请证明你的结论；若不是，请说明的理由.